Decidibilità Decidibile è Decidibile?

Mi chiedo se decidere la decidibilità del problema sia un problema decidibile. Immagino di no, ma dopo le ricerche iniziali non riesco a trovare alcuna letteratura su questo problema.

computability undecidability decision-problem

— sync
fonte

Yo, amico, ti ho sentito come la decidibilità, quindi ...

— David Richerby,

La tua domanda non è rispondente nella sua forma attuale, come mostrato dalle due risposte che sostanzialmente dicono "Trivially, no" e "Trivially, yes" (con un commento bonus che dice "no" al "no"). Hai chiesto se un problema è decidibile ma non hai definito quale sia il problema. In particolare, qual è l'input? Se si vuole progettare una macchina di Turing

che vi dirà se un problema è decidibile, devi dare quel problema come input per

. Ma come si fa?

M

$M$

M

$M$

— David Richerby,

Date le risposte attuali, c'è la domanda "Decidere Decidibilità Decidibile Decidibile?", Ma non ho intenzione di chiederlo :-)

— Mark Hurd

Risposte:

Importante modifica del mio originale:

Una lettura ingenua della tua domanda sembra essere, lascia che sia il problema $P$

Data una lingua, , è decidibile? $P=$ $L$

Quindi chiedi

è decidibile? $P$

Come hanno notato DW e David, la risposta è "sì, lo è", anche se non sappiamo quale dei due banali decisori sia quello giusto. Per inquadrare il tuo problema in modo che non sia così banale, suggerirei questo. Innanzitutto, limitiamo leggermente le cose considerando solo le lingue che sono le lingue accettate da alcune TM $L(M)$ $M$ . La ragione per farlo è che se una lingua non è accettata da nessuna TM, allora non è ri (riconoscibile) e quindi non può essere ricorsiva (decidibile). Quindi possiamo rifondere come $P$

Data una descrizione, di una MT, è decidibile? $P'=$ $\langle M\rangle$ $M$ $L(M)$

Ora è una lingua di descrizioni TM, piuttosto che una lingua di lingue come sembrava (sotto una generosa interpretazione), ed è ora perfettamente ragionevole chiedersi se la lingua sia decidibile. In questa lettura, il linguaggio costituito da descrizioni TM non è decidibile. Questa è una facile conseguenza del teorema di Rice . Quindi ora abbiamo due risposte: il mio "no" e il "sì" di DW, a seconda dell'interpretazione. $P'$ $P$ $P'$

{⟨ M ⟩ | M è una TM e L (M) è decidibile}

$\{\langle M\rangle\mid M \text{ is a TM and $L(M)$ is decidable}\}$

— Rick Decker
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Grazie! Comprendere, almeno in modo superficiale, entrambe le risposte mi ha dato le informazioni che cercavo, che sono approssimativamente: "Possiamo creare una macchina in grado di decidere cosa può e non può decidere in generale?" (Non è una frase buona, lo so, ma non riesco a pensare a una frase migliore.) Molto utile, soprattutto se riconosci entrambe le interpretazioni.

— Sincronizza

Ho pensato che mostrare che per ogni problema decidibile esiste un certificato (algoritmo con una prova) e per ogni problema indecidibile esiste anche un certificato (riduzione da un problema indecidibile) è sufficiente.

— rus9384,

Come abbiamo visto nelle diverse risposte, parte della risposta sta nel formulare il problema giusto.

Nel 1985 Joost Engelfriet scrisse "La non calcolabilità della calcolabilità" (Bollettino del numero EATCS 26, giugno 1985, pagine 36-39) come risposta a una domanda posta da uno studente intelligente. Sfortunatamente, i BEATCS erano in quel momento solo cartacei e l'articolo non lasciava tracce elettroniche.

L'autore assume che abbiamo un formalismo (logico) con i soliti operatori e variabili booleani. La sua definizione precisa non è importante. Una formula specifica una funzione iff (per tutti ) è vero, dove è il numero che rappresenta il numero . $\Psi$ $F(m,n)$ $f:\Bbb N \to \Bbb N$ $m,n\in \Bbb N$ $f(m)=n$ $\Leftrightarrow$ $F(\underline m,\underline n)$ $\underline m$ $m$

Quoto:

$\Phi$ $\Bbb N \to \Bbb N$ $f$ $f$

La parte divertente è nella seguente osservazione fatta nel documento:

$\Phi$

— Hendrik Jan
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Sì. È sempre decidibile.

Per qualsiasi problema P, sia Q il problema nel determinare se P è decidibile o meno. Sostengo che Q sia decidibile. Ecco perché. Tautologicamente, o P è decidibile o non lo è. Quindi, uno dei due programmi è corretto: (1) print "yup P is decidable"o (2) print "nope P is not decidable". Potrebbe non essere banale capire quale di questi due programmi è corretto, uno di questi è corretto, quindi sicuramente esiste un decisore per Q . Pertanto, il problema Q è decidibile.

Questo ricorda la seguente classica domanda: è decidibile dire se la congettura di Collatz è vera? La risposta è si. Questo potrebbe sembrare strano, poiché nessuno sa se la congettura di Collatz sia vera (è un famoso problema aperto). Tuttavia, ciò che sappiamo è che la congettura di Collatz è vera o no. Nel primo caso, il programma print "yup it's true"è un decisore. In quest'ultimo caso, il programma print "nope it's not true"è un decisore. Non sappiamo quale sia un decisore valido, ma questo è sufficiente per dimostrare l'esistenza di un decisore valido. Pertanto, il problema è decidibile.

— DW
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Penso che l'interpretazione della domanda di Ricky Decker sia superiore. Data la codifica di un problema, decidere se il problema è decidibile.

— Yuval Filmus,

@YuvalFilmus, OK, è ragionevole. Hai una codifica finita per problemi (ad esempio, lingue) che ritieni ragionevole e che non rende banale il problema? La codifica finita naturale per una lingua è come una macchina di Turing che riconosce quella lingua, ma che rende banale il problema, come dimostra il tuo commento sulla risposta di Ricky Decker. Quindi avremmo bisogno di qualche altra codifica ragionevole, che non soffra di questo tipo di problema. Hai qualche suggerimento per questo?

— DW

È possibile utilizzare la logica del primo ordine in una lingua appropriata. Oppure l'ingresso potrebbe essere una macchina in 0 '(ad esempio), ovvero una macchina di Turing con accesso a un oracolo di arresto.

— Yuval Filmus,

Secondo il teorema di Rice, sappiamo che persino decidere R nell'universo RE è indecidibile. Non è sufficiente? (Non tutte le TM sono decisori.)

— Raffaello

Grazie! Mentre, non l'interpretazione che intendevo, questo mi ha aiutato a capire perché la domanda che ho posto potrebbe non essere sufficientemente affermata per riflettere le mie intenzioni.

— Sincronizza