In che senso il set di Mandelbrot è "calcolabile"?

Il set di Mandelbrot è una bellissima creatura in matematica.

Ci sono molte belle immagini di questo set create con alta precisione, quindi ovviamente questo set è "calcolabile" in un certo senso.

Tuttavia, ciò che mi preoccupa è il fatto che non è neppure enumerabile in modo ricorsivo, semplicemente perché l'insieme non è numerabile. Ciò potrebbe essere risolto richiedendo una sorta di rappresentazione finita dei punti.

Inoltre, anche se sappiamo per certo che molti punti appartengono al set e altri no, ci sono anche molti punti di cui non conosciamo l'appartenenza al set. Tutte le immagini che abbiamo visto finora possono includere molti punti che "fino a n iterazioni vengono mantenute rilegate", ma quei punti potrebbero non appartenere al set.

Quindi, per un dato punto con una presentazione finita, il problema "Questo punto appartiene al set?" non ha ancora dimostrato di essere decidibile, se ho ragione.

Ora, in che senso (con quale definizione) possiamo dire che l'insieme di Mandelbrot è "calcolabile"?

computability

— Earth Engine
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"Tuttavia, ciò che mi preoccupa è il fatto che non è neppure enumerabile in modo ricorsivo, semplicemente perché il set non è numerabile." - probabilmente non dovrebbe essere quello che ti riguarda. Dopotutto, tonnellate di insiemi di punti davvero semplici in

sono innumerevoli.

, per esempio.

R^{2}

$\mathbb R^2$

R^{2}

$\mathbb R^2$

— user2357112 supporta Monica

Risposte:

Esistono diversi modi per definire cosa significa che il set di Mandelbrot sia calcolabile. Una possibile definizione è il modello Blum – Shub – Smale. In questo modello, il calcolo reale è modellato da una macchina simile a una macchina RAM, il cui accesso ai numeri reali è limitato all'aritmetica e ai confronti di base. Blum e Smale hanno dimostrato che il set di Mandelbrot è imputabile in questo modello, sebbene il suo complemento possa essere enumerato ricorsivamente usando l'algoritmo tradizionale usato per disegnarli.

Un altro modello è l' analisi calcolabile , in cui è probabilmente calcolabile l'insieme di Mandelbrot, come mostrato da Hertling (subordinato a una congettura ampiamente creduta, la congettura dell'iperbolicità). In questo modello, calcolare il set di Mandelbrot significa essere in grado di calcolare un'approssimazione al set di Mandelbrot, con qualsiasi precisione desiderata (per la definizione esatta, vedere il riferimento sull'analisi calcolabile).

Perché allora il computer sembra essere in grado di disegnare il set di Mandelbrot? La principale difficoltà nel dimostrare che l'algoritmo tradizionale funziona è che è difficile dire in anticipo quante iterazioni eseguire prima di decidere che il punto appartiene all'insieme. Hertling mostra che se la congettura di iperbolicità ampiamente creduta regge, allora esiste un ragionevole limite del genere. Presumibilmente, i programmi semplicemente aspettano abbastanza a lungo; o non aspettano abbastanza a lungo, ma sbagliano solo una piccola parte dei punti.

— Yuval Filmus
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Ho dato un'occhiata a entrambi i modelli, ma entrambi non sono abbastanza buoni per me ... Poiché la cosa migliore accanto a finito è compatta e il set di Mandelbrot è compatto, penso che dovrebbe esserci un modello che afferma che è "computabile compatta" in qualche modo. Per insiemi come

possiamo dire "calcolabile localmente compatto".

R

$R$

— Earth Engine,

Fondamentalmente, il set di Mandelbrot non è calcolabile (per quanto ne sappiamo). Il fatto che tu veda le immagini non significa che sia calcolabile. Quelle immagini vengono elaborate usando un'approssimazione: se il processo dura più di una soglia prestabilita, come euristico, il codice presuppone che non si fermerà mai. Questa euristica può essere errata e, di conseguenza, tali immagini potrebbero non essere accurate al 100%. In altre parole, quelle immagini non sono un'immagine del "set" di Mandelbrot; sono di un'approssimazione all'insieme di Mandelbrot.

— DW
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Il fatto che calcoliamo solo approssimazioni non è il problema, penso. Il problema sarebbe maggiore se queste approssimazioni convergono in qualche limite impostato da Mandelbrot se si aumenta il tempo di calcolo. Ti fraintendo?

— babou,

@babou, perché dovrebbe essere questo il problema? Posso darti un algoritmo che è un'approssimazione al problema di Halting, cioè converge nel limite alla soluzione corretta al problema di Halting - ma non è abbastanza che considereremmo il problema di Halting calcolabile. Non penso che tu mi fraintenda.

— DW

Devo essere confuso da qualche parte. Avevo l'impressione che oggetti infiniti possano essere considerati calcolabili se sono il limite di una sequenza infinita di quelli calcolabili, con alcune condizioni specifiche su come deve comportarsi la convergenza al limite. Sembra che ci sia un buco nella mia comprensione.

— babou,

@babou, OK. Non ho dubbi sulla tua memoria / comprensione. Non avevo sentito parlare di quella nozione di calcolabilità, ma ti credo.

— DW

Innanzitutto, dovresti sempre dubitare della mia memoria / comprensione. Gran parte di ciò che viene discusso qui non è nella mia area di (ex) competenza. In realtà la mia comprensione si basa su quel poco che leggo sul reale calcolabile, che ho capito come calcolabile con qualsiasi precisione richiesta in modo uniforme. Poi c'è la mia più antica comprensione semantica di strutture infinite come limiti di strutture finite in insiemi parzialmente ordinati, anche se non sono sicuro di come i due siano collegati.

— babou,