La regolarità delle lingue unarie con lunghezza delle parole somma di due resp. tre quadrati

Penso alle lingue unarie $L_k$ , dove $L_k$ è un insieme di tutte le parole la cui lunghezza è la somma di $k$ quadrati. Formalmente: È facile dimostrare che L 1 = { a n 2 ∣ n ∈ N 0 } non è regolare (ad es. Con Pumping-Lemma). Inoltre, sappiamo che ogni numero naturale è la somma di quattro quadrati, il che implica che per k ≥ 4 tutte le lingue L k sono regolari poiché L k = L ( a ∗ ) .

$$L_k=\{a^n\mid n=\sum_{i=1}^k {n_i}^2,\;\;n_i\in\mathbb{N_0}\;(1\le i\le k)\}$$ $L_1=\{a^{n^2}\mid n\in\mathbb{N_0}\}$
$k\ge 4$$L_k$$L_k=L(a^*)$

Ora sono interessato ai casi e k = 3 :$k=2$$k=3$

, L 3 = { a n 1 2 + n 2 2 + n 3 2$L_2=\{a^{{n_1}^2+{n_2}^2}\mid n_1,n_2\in\mathbb{N_0}\}$ .$L_3=\{a^{{n_1}^2+{n_2}^2+{n_3}^2}\mid n_1,n_2,n_3\in\mathbb{N_0}\}$

Sfortunatamente, non sono in grado di mostrare se queste lingue sono regolari o meno (anche con l'aiuto del teorema di tre quadrati di Legendre o del teorema di Fermat su somme di due quadrati ).

Sono abbastanza sicuro che almeno non sia regolare ma il pensiero infelice non è una prova. Qualsiasi aiuto?$L_2$

Cominciamo con . È noto che la densità superiore di numeri interi che sono la somma di due quadrati è 0. Se L 2 fosse regolare, sarebbe infine periodico, e quindi, poiché la sua densità superiore è 0, finito. Ma sappiamo che ci sono numeri interi arbitrariamente grandi in L 2 , quindi L 2 non può essere regolare.$L_2$$L_2$$L_2$$L_2$

Per quanto riguarda , considera le parole w k = 1 4 k 7 . Sostengo che per k < ℓ , le parole w k , w ℓ non sono equivalenti. Infatti, w k 1 4 k 8 ∉ L 3 mentre w ℓ 1 4 k 7 ∈ L 3 . Il criterio di Myhill – Nerode mostra quindi che L 3 è irregolare.$L_3$$w_k = 1^{4^k 7}$$k < \ell$$w_k,w_\ell$$w_k 1^{4^k 8} \notin L_3$$w_\ell 1^{4^k 7} \in L_3$$L_3$

Supponiamo che sia regolare. Quindi anche il suo complemento, che secondo il teorema di tre quadrati di Legendre è { a n | n = 4 k ( 8 l + 7 ) , k , l ∈ N } . Secondo il teorema di Parikh , ciò implicherebbe che l'insieme delle lunghezze S = { 4 k ( 8 l + 7 ) | k , l ∈ è semi-lineare, ovvero un'unione finita $L_3$$\{a^n\ |\ n=4^k(8l+7), k,l\in\mathbb{N}\}$$S=\{4^k(8l+7)\ |\ k,l\in\mathbb{N}\}$di insiemi lineariSi={ai+rbi| r∈$\bigcup_{i=1}^NS_i$ .$S_i=\{a_i + rb_i\ |\ r\in\mathbb{N}\}$

Considerare due elementi con k 1 > k 2 e lasciare r : = k 1 - k 2 . Se s 1 , s 2 sono entrambi nella stessa S i , allora lo è anche$s_1 = 4^{k_1}(8l_1+7), s_2 = 4^{k_2}(8l_2+7)\in S$$k_1>k_2$$r:=k_1-k_2$$s_1,s_2$$S_i$ o 2 s 2 - s 1 (a seconda che s 1 < s 2 o s 1 > s 2 ). Ma$2s_1-s_2$$2s_2-s_1$$s_1<s_2$$s_1>s_2$

• , dove l ′ = 4 r - 1 ( 8 l 1 + 7 ) - l 2 ,$2(4^{k_1}(8l_1+7))-(4^{k_2}(8l_2+7)) = 4^{k_2}(8l'-7)$$l'=4^{r-1}(8l_1+7)-l_2$
• , dove l ′ = 2 l 2 - 4 r l 1 .$2(4^{k_2}(8l_2+7))-(4^{k_1}(8l_1+7)) = 4^{k_2}(8l'-7*4^r+14)$$l'=2l_2-4^rl_1$

Nessuno di questi sono in , quindi s 1 , s 2 dovrebbe essere in diversi membri del sindacato. Ma questo è impossibile, poiché S è un'unione finita, e ci sono infiniti k diversi .$S$$s_1,s_2$$S$$k$

Pertanto, non è regolare.$L_3$