Quali combinazioni di sequenzializzazione pre, post e in ordine sono uniche?

Conosciamo il post-ordine,

post L(x)     => [x]
post N(x,l,r) => (post l) ++ (post r) ++ [x]

e preordine

pre L(x)     => [x]
pre N(x,l,r) => [x] ++ (pre l) ++ (pre r)

e in ordine traversal resp. sequentialisation.

in L(x)     => [x]
in N(x,l,r) => (in l) ++ [x] ++ (in r)

Si può facilmente vedere che nessuno dei due descrive un albero in modo univoco, anche se assumiamo chiavi / etichette distinte a coppie.

Quali combinazioni dei tre possono essere utilizzate a tal fine e quali no?

Le risposte positive dovrebbero includere un algoritmo (efficiente) per ricostruire l'albero e una prova (idea) del perché sia corretto. Le risposte negative dovrebbero fornire esempi contrari, ovvero alberi diversi che hanno la stessa rappresentazione.

algorithms binary-trees

— Raffaello
fonte

Innanzitutto, suppongo che tutti gli elementi siano distinti. Nessuna quantità di sequenzializzazioni ti dirà la forma di un albero con elementi [3,3,3,3,3]. Naturalmente è possibile ricostruire alcuni alberi con elementi duplicati; Non so quali belle condizioni sufficienti esistano.

Continuando sui risultati negativi, non è possibile ricostruire completamente un albero binario solo dalle sue sequenzializzazioni pre-ordine e post-ordine. [1,2]preordine, il [2,1]post-ordine deve avere 1il root, ma 2può essere il bambino sinistro o il bambino giusto. Se non ti interessa questa ambiguità, puoi ricostruire l'albero con il seguente algoritmo:

Lascia che sia l'attraversamento del pre-ordine e sia l'attraversamento del post-ordine. Dobbiamo avere , e questa è la radice dell'albero. $[x_1,\dots,x_n]$ $[y_n,\ldots,y_1]$ $x_1=y_1$
è il figlio più a sinistra della radice e è il figlio più a destra. Se , il nodo radice è unario; ricorrere su e per costruire la singola sottostruttura. $x_2$ $y_2$ $x_2 = y_2$ $[x_2,\ldots,x_n]$ $[y_n,\ldots,y_2]$
Altrimenti, sia che siano gli indici in modo tale che e . è l'attraversamento del preordine della sottostruttura sinistra, quello della sottostruttura destra, e allo stesso modo per gli attraversamenti post ordine. La sottostruttura sinistra ha $i$ $j$ $x_2 = y_i$ $y_2 = x_j$ $[x_2,\ldots,x_{j-1}]$ $[x_j,\ldots,x_n]$ elementi e la sottostruttura destra ha elementi. Richiedere una volta per ogni sottostruttura. A proposito, questo metodo si generalizza agli alberi con ramificazione arbitraria. Con una ramificazione arbitraria, scopri l'estensione del sottotree sinistro e taglia i suoielementi da entrambe le liste, quindi ripeti per tagliare il secondo sottotree da sinistra, e così via. $j-2=n-i+1$ $i-2=n-j+1$
$j-2$

$O(n^2)$ $\Theta(n^2)$ $O(n\,\mathrm{lg}(n))$ $n\,\mathrm{lg}(n)$

$[x_1,\ldots,x_n]$ $[z_1,\ldots,z_n]$

$x_1$
$k$ $z_k = x_1$ $[z_1,\ldots,z_{k-1}]$ $[z_{k+1},\ldots,z_n]$ $[x_2,\ldots,x_k]$ $[x_{k+1},\ldots,x_n]$

$O(n^2)$ $O(n\,\mathrm{lg}(n))$

L'ordine postale più l'ordine è ovviamente simmetrico.

— Gilles 'SO- smetti di essere malvagio'
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C'è un errore di battitura qui: "[1,2] preordine, [1,2] post-ordine deve avere 1 alla radice, ma 2 può essere il figlio sinistro o il figlio destro." L'ordine postale di un tale l'albero sarebbe [2,1] non [1,2] se 2 è un figlio sinistro o destro. Inoltre, vuoi dire se vengono dati sia preordine che postordine, non possiamo ricostruire l'albero, o intendi se ci viene dato solo uno di loro, quindi non possiamo ricostruire l'albero?

— CEGRD,

@CEGRD In effetti, il postorder era un errore di battitura. L'esempio mostra che in questo caso non è possibile ricostruire completamente l'albero: non si può sapere se si 2tratta di un bambino di sinistra o di un bambino di destra. Ciò corrisponde al caso "sottostruttura singola" dell'algoritmo di ricostruzione.

— Gilles 'SO- smetti di essere malvagio' il

come cambia se sappiamo che è un albero di ricerca binario? per il semplice caso del tuo esempio ([1,2] preordine, [2,1] post-ordine) saremmo in grado di determinare che la radice è 1 e che 2 è il figlio giusto (perché 2 è maggiore di 1) ... destra?

— Fersarr,