Operazione a stella di Kleene sulla lingua vuota

Nel mio libro di testo si dice che: dove è una lingua vuota. $\emptyset^*=\{\epsilon\}$ $\emptyset$

Tuttavia, sappiamo che , dove è qualsiasi lingua. $L \cdot \emptyset = \emptyset$ $L$

Non sono in grado di cogliere intuitivamente questo concetto perché l'operazione a stella di Kleene punta sul fatto che . $\emptyset^*=\emptyset^0 \cup \emptyset^1 \cup \emptyset^2 \cup \cdots$

Quindi perché non è uguale a ? $\emptyset^*$ $\emptyset$

formal-languages kleene-star

— Sagnik
fonte

Vedere questa risposta . Fondamentalmente, per qualsiasi set non vuoto

per coerenza della formula

. Questo è esteso al caso in cui

l'estensione più naturale. Questa è la solita scelta in semi-anelli. Il resto deriva dalla definizione della stella Kleene.

W

$W$

W^{0} = \emptyset

$W^0=\emptyset$

W^{x} W^{y} = W^{x + y}

$W^xW^y=W^{x+y}$

W = \emptyset

$W=\emptyset$

— babou,

Tuttavia, per i numeri,

rimane indefinito, principalmente a causa di problemi continentali che ricordo, anche se spesso può essere conveniente definirlo uguale a

. Vedi

0^{0}

$0^0$

1

$1$

0^{0}

$0^0$

— babou,

Semplicemente perché

per tutte le , per definizione.

ε \in L^{0} = {ε}

$\varepsilon \in L^0 = \{\varepsilon\}$ $L$

— Raffaello

@Raphael Sì. Puoi dirlo in questo modo. Ma è arbitrario, afaik, quando

L = \emptyset

$L=\emptyset$ . Probabilmente dovrei scrivere la mia risposta in modo diverso. Faccio di tutto per spiegare.

— babou,

@babou Alla fine, ogni definizione è arbitraria. Alcune definizioni sono utili, altre no. Imho, cercare di trovare l'intuizione nelle definizioni di base in quanto raramente è utile e talvolta dannoso.

— Raffaello

Risposte:

Se consideri ora i poteri di una lingua hai Se vuoi che questo sia coerente su , cioè gli interi non negativi, devi definire . Se lo considerassi avresti . Quindi avremmo $W$ $W^xW^y=W^{x+y}$ $\mathbb N_0$ $W^0=\{\epsilon\}$ $\emptyset$ includendo, tra gli altri, per $W^x=W^{x+0}=W^xW^0=W^x\emptyset=\emptyset$ $x=1$ $W^1=W=\emptyset$ per ogni . Pertanto, ciò sarebbe chiaramente incoerente. Una simile incoerenza sorge per qualsiasi altra scelta diversa da , che è l'identità per la concatenazione del linguaggio. $W$ $\{\epsilon\}$

Quindi, l'unica definizione coerente coerente di per un set non vuoto è . $W^0$ $W$ $W^0=\{\epsilon\}$

È quindi conveniente estendere la definizione al caso quando come . $W=\emptyset$ $\emptyset^0=\{\epsilon\}$

Questa è solo una definizione coerente e conveniente, spesso adottata semianelli ma non può essere provato, a differenza THW caso in cui dove non c'è altra definizione coerente. $W\neq\emptyset$

Tuttavia, altre definizioni devono quindi essere fornite in modo coerente, il che implica che

\begin{aligned} \emptyset^{*} & = \emptyset^{0} \cup \emptyset^{1} \cup \emptyset^{2} \cup \dots \\ = {ϵ} \cup \emptyset \cup \emptyset \cup \dots \\ = {ϵ} \end{aligned}

$\begin{align} \emptyset^*&=\emptyset^0\cup\emptyset^1\cup\emptyset^2\cup\ldots \\ &=\{\epsilon\}\cup\emptyset\cup\emptyset\cup\ldots\\ &=\{\epsilon\} \end{align}$

L'argomento è discusso su molte pagine Web. Nel caso del semi-ring dei numeri (la mancanza di precisione è intenzionale), questo è discusso a lungo in questa pagina: Zero alla potenza zero - È ? $0^0=1$ .

Il semi-ring delle lingue è descritto in questa risposta .

— Babou
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Questa risposta ha chiarito tutti i miei dubbi. E i collegamenti erano eccellenti.

— Sagnik,

La concatenazione di zero parole da è la parola vuota , quindi . Più in generale, per una lingua , la stella di Kleene consiste in tutta la concatenazione di qualsiasi numero di parole da , qualsiasi numero compreso zero parole . $\emptyset$ $\epsilon$ $\epsilon \in \emptyset^*$ $L$ $L^*$ $L$

— Yuval Filmus
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Stavo cercando una spiegazione più matematica perché non ero in grado di ottenere una comprensione intuitiva del concetto di "concatenazione di zero parole". Tuttavia, dopo aver letto la risposta di @ babou e questa risposta, tutti i miei dubbi sono stati chiariti. Grazie.

— Sagnik,

"... per una lingua L, la stella di Kleene L * è costituita da tutta la concatenazione di qualsiasi numero di parole da L, qualsiasi numero comprese le parole zero" Qui, in che modo zero numero di parole implica eplison? epsilon è una parola, quindi come possiamo dire che il numero zero di parole include epsilon? Correggimi, per favore.

— Palak Jain,

La concatenazione di zero parole è l'elemento neutro per la concatenazione, che è la parola vuota. Allo stesso modo, la somma di zero elementi è zero, il prodotto di zero elementi è uno, l'unione di zero insiemi è l'insieme vuoto e così via.

— Yuval Filmus,