Numero minimo di confronti necessari per ordinare (ordinare) 5 elementi

Trova il numero minimo di confronti necessari per ordinare (ordinare) cinque elementi e escogitare un algoritmo che ordina questi elementi usando questo numero di confronti.

Soluzione : ce ne sono 5! = 120 possibili esiti. Pertanto, un albero binario per la procedura di ordinamento avrà almeno 7 livelli. In effetti, ≥ 120 implica h ≥ 7. Ma 7 confronti non sono sufficienti. Il numero minimo di confronti necessari per ordinare (ordinare) cinque elementi è 8.$2^h$$h$

Ecco la mia vera domanda: ho trovato un algoritmo che lo fa in 8 confronti ma come posso dimostrare che non può essere fatto in 7 confronti?

La soluzione è sbagliata Demuth [1; via 2, sec. 5.3.1] mostra che cinque valori possono essere ordinati usando solo sette confronti, vale a dire che il limite inferiore di "teoria dell'informazione" è stretto in questo caso.

La risposta è un metodo su misura per , non un algoritmo generale. Inoltre non è molto carino. Questo è lo schema:$n=5$

1. Ordina le prime due coppie.

2. Ordina le coppie con il rispettivo elemento più grande.

   Chiama il risultato ; conosciamo a < b < d e c < d .$[a,b,c,d,e]$$a<b<d$$c<d$

3. Inserisci in [ a , b , d ] .$e$$[a,b,d]$

4. Inserisci nel risultato del passaggio 3.$c$

Il primo passo prende chiaramente due confronti, il secondo solo. Gli ultimi due passaggi prendono due confronti ciascuno; inseriamo in un elenco di tre elementi in entrambi i casi (per il passaggio 4., nota che sappiamo da che c è più piccolo dell'ultimo elemento dell'elenco a portata di mano) e confrontiamo prima con l'elemento centrale. Ciò fa un totale di sette confronti.$c<d$$c$

Dal momento che non vedo come scrivere "bello" pseudocodice di questo, vedere qui per un'implementazione testata (e si spera leggibile).

1. Ph.D. tesi (Stanford University) di HB Demuth (1956)

   Vedi anche Ordinamento elettronico dei dati di HB Demuth (1985)

2. Ordinamento e ricerca di Donald E. Knuth; L'arte della programmazione per computer Vol. 3 (2a edizione, 1998)

Il limite inferiore teorico dell'ordinamento basato sul confronto è $\log(n!)$ . Vale a dire che per ordinare $n$ elementi usando solo $<$ o $>$ confronti ci vuole almeno il logaritmo in base 2 di $n!$, quindi $\log(5!) \approx 6.91$ operazioni.

Dal $5!= 120$ e $2^7= 128$ , utilizzando un albero decisionale binario è possibile ordinare 5 elementi in 7 confronti. L'albero capisce esattamente quale delle 120 permutazioni hai, quindi esegue gli swap necessari per ordinarla.

Non è un codice carino o abbreviato, e probabilmente dovresti usare i metodi di generazione del codice per creare l'albero decisionale e gli scambi piuttosto che codificarlo manualmente, ma funziona; e funziona in modo dimostrabile per ogni possibile permutazione di 5 articoli, dimostrando così che è possibile ordinare 5 articoli in non più di 7 confronti.

stavo pensando a quicksort. si seleziona come perno l'elemento che sembra essere l'elemento centrale. confrontare il perno con i restanti 4 elementi risultanti in due pile da ordinare. ognuna di quelle pile può essere ordinata in 1 confronto. a meno che non abbia commesso un terribile errore, i 5 articoli sono stati completamente ordinati in soli 6 confronti e penso che sia il numero minimo assoluto di confronti necessari per fare il lavoro. la domanda originale era trovare il minor numero di confronti per ordinare 5 elementi.

Se riesci a testare l'algoritmo, testalo su tutte le combinazioni di numeri. Se hai molti numeri, prova molte combinazioni casuali. Non preciso, ma più veloce di tutte le combinazioni.

Minimo
a <b <c = 2
a <b <c <d = 3
a <b <c <d <e = 4

Massimo
3 ^ 3
4 ^ 4
5 ^ 5

Inserire a metà uso 3-6 per 4 numeri.
La fusione usa 4-5 per 4 numeri.
Il confronto minimo per wiki è 5 per 4 numeri :) Per 5 è 7. Usi 8, ancora così tanto.
https://en.wikipedia.org/wiki/Comparison_sort#Number_of_comparisons_required_to_sort_a_list
Se conosci tutti i confronti precedenti, puoi scendere con i confronti. La mia media per 4 numeri è 3.96 / 1024 tutte le combinazioni.