problema indecidibile e la sua negazione è indecidibile

Molti problemi indecidibili "famosi" sono comunque almeno semidecidabili, con il loro complemento indecidibile. Un esempio soprattutto può essere l'arresto del problema e il suo complemento.

Tuttavia, qualcuno può darmi un esempio in cui sia un problema che il suo complemento sono indecidibili e non semidecidibili? Ho pensato al linguaggio di diagonalizzazione Ld, ma non mi sembra che il complemento sia indecidibile.

In tal caso, ciò significa che una Turing Machine M può "perdere" alcune stringhe che invece dovrebbero essere riconosciute, poiché fanno parte del linguaggio che stiamo cercando di identificare?

Considera la seguente lingua:

$$L_2 = \{(M_1,x_1,M_2,x_2) : \text{$M_1$ halts on input $x_1$ and $M_2$ doesn't halt on input $x_2$}\}.$$

è indecidibile e non semi-decidibile, e lo stesso vale per il suo complemento. Perché? L'intuizione è " M 2 non si ferma sull'ingresso x 2 " non è semi-decidibile, quindi L 2 non è semi-decidibile; e quando si osserva il complemento di L 2 , accade la stessa cosa per M 1 . Questo può essere formalizzato più attentamente usando riduzioni.$L_2$$M_2$$x_2$$L_2$$L_2$$M_1$

Più in generale, se è una lingua indecidibile e non semi-decidibile, allora$L$

$$L' = \{(x,y) : x \in L, y \notin L\}$$

soddisfa le tue esigenze: è indecidibile e non semi-decidibile, e lo stesso vale per il complemento di L ′ .$L'$$L'$

Nota che la stragrande maggioranza dei problemi si adatta al criterio che stai cercando: sia il problema che il suo complemento non sono semi-decidibili. Questo perché ci sono solo molti problemi semi-decidibili ma ci sono innumerevoli problemi.

Per un esempio, sia sia il problema della terminazione per macchine di Turing e lasciare che M sia la classe di macchine di Turing con un oracolo per  H . Lasciate H 2 sia il problema della terminazione per  M . Sostengo che né H 2 né  ¯ H 2 sono semi-decidibili$H$$\cal{M}$$H$$H_2$$\cal{M}$$H_2$$\overline{H_2}$

Possiamo dimostrare che non è deciso da nessuna macchina in  M : l'argomento è lo stesso dell'argomento secondo il quale il normale problema di arresto della macchina di Turing  H non è deciso da nessuna macchina di Turing ordinaria. Ora, supponiamo per assurdo che H 2  è semi-decisa da alcuni ordinaria macchina di Turing  T . Bene, con un oracolo per  H , possiamo verificare se T si  ferma per qualsiasi input particolare, contraddicendo il fatto che nessuna macchina in  M decide  H 2 . Quindi H 2  non è semi-decidibile.$H_2$$\cal{M}$$H$$H_2$$T$$H$$T$$\cal{M}$$H_2$$H_2$

Resta da dimostrare che non è semi-decidibile. Innanzitutto, nota che è semi-deciso da una macchina in  M : di nuovo, l'argomento è lo stesso di H  essendo semi-deciso da una normale macchina di Turing. ¯ H 2  non può essere semi-decisa da una macchina in  M perché, se fosse, H 2 e  ¯ H 2 sono entrambe semi-decisi da macchine in  M , quindi entrambe le lingue sarebbero decisi dalle macchine in  M . Ma sappiamo già che H 2  non è deciso da qualsiasi macchina in  M . Perciò,$\overline{H_2}$$\cal{M}$$H$$\overline{H_2}$$\cal{M}$$H_2$$\overline{H_2}$$\cal{M}$$\cal{M}$$H_2$$\cal{M}$  non è parzialmente decisa da qualsiasi macchina in M. Inoltre, ¯ H 2 non è semi-deciso da nessuna normale macchina Turing, poichéM contiene ogni normale macchina Turing. (Una normale macchina di Turing è una macchina di Turing con un oracolo per Hche non usa mai quell'oracolo.)$\overline{H_2}$$\cal{M}$$\overline{H_2}$$\cal{M}$$H$

Ecco alcuni esempi naturali:

• Il linguaggio di tutte le macchine di Turing si fermava su tutti gli ingressi, talvolta indicato come TOT. Questa lingua è .$\Pi_2^0$

• Il linguaggio di tutte le macchine di Turing si fermava su infiniti input, a volte indicato con INF. Questa lingua è anche completa .$\Pi_2^0$

• Il linguaggio di tutte le macchine di Turing si fermava su input arbitrariamente lunghi , talvolta indicato come COF. Questa lingua è .$\Sigma_3^0$

e Σ 0 3 sono livelli dellagerarchia aritmetica. I risultati della completezza implicano, in particolare, che queste lingue non sono né semidecidibili né semidecidibili.$\Pi_2^0$$\Sigma_3^0$