Dato un computer veloce e lento, a quali dimensioni il computer veloce che esegue un algoritmo lento batte il computer lento che esegue un algoritmo veloce?

La fonte di questa domanda proviene da un corso di laurea che sto seguendo, che copre un'introduzione all'analisi degli algoritmi. Questo non è per i compiti, ma piuttosto una domanda posta nel CLRS.

Hai una macchina lenta in esecuzione su MIPS e una macchina veloce in esecuzione su MIPS. Hai anche due algoritmi della stessa classe, ma diverse complessità del tempo di esecuzione: un algoritmo "lento" viene eseguito su mentre un algoritmo "veloce" viene eseguito su . $x$ $y$ $T(n) = c_1n^2$ $T(n) = c_2n \log n$

Si esegue l'algoritmo lento sulla macchina veloce e l'algoritmo veloce sulla macchina lenta. Qual è il valore più grande di n tale che la macchina veloce che esegue l'algoritmo lento batte la macchina lenta che esegue l'algoritmo veloce?

La mia soluzione finora:

Trova l'insieme di tutti tali che dove è un numero naturale. $n$

\frac{c_{2} n \log n}{x} > \frac{c_{1} n^{2}}{y}

$\frac{c_2n\log n}{x} > \frac{c_1n^2}{y}$

n

$n$

Questo è il mio lavoro finora:

{n : \frac{c_{2} n \log_{2} n}{x} > \frac{c_{1} n^{2}}{y}, n \in N} = {n : n < \frac{c_{2} y}{c_{1} x} \log_{2} n, n \in N}

$\{n : \frac{c_2 n \log_2 n}{x} > \frac{c_1 n^2}{y}, n \in \mathbb{N}\} = \{n : n < \frac{c_2 y}{c_1 x} \log_2 n, n \in \mathbb{N}\}$

L'unica soluzione che mi viene in mente ora è plug-n-chug tutti i valori di fino a quando non trovo il primo n dove $n$

n < \frac{c_{2} y}{c_{1} x} \log (n)

$n < \frac{c_2y}{c_1x}\log(n)$

non regge più.

— DoggoDougal
fonte

Questa è davvero più una questione di matematica che una questione di informatica. Se sostituisci con allora hai un'equazione trascendentale sui reali, che non puoi davvero ridurre a una soluzione a forma chiusa per . Una volta trovata una , la risposta è arrotondata per difetto all'intero più vicino. In altre parole, "plug-n-chug" o "indovina e controlla" è altrettanto buono come si può fare nel caso generale. Questo di solito si manifesta con metodi grafici o numerici.

n

$n$

x

$x$

x

$x$

x

$x$

x

$x$

— Patrick87,

Considera la tua ultima disuguaglianza:

$\qquad \displaystyle n < \frac{c_2y}{c_1x}\log(n)$

Ora, con è una funzione concava . Pertanto, ci sono al massimo due incroci, e solo uno di questi è interessante per te; cioè risolvi $C\log n$ $C = \frac{c_2y}{c_1x}$

$\qquad \displaystyle n = C\log(n)$

e scopri quale algoritmo è più veloce in quale intervallo semplicemente calcolando i rispettivi valori di funzione in un determinato punto del rispettivo intervallo.

È vero che risolvere esplicitamente questa uguaglianza è difficile / impossibile. Per alcuni fissi , l'algebra del computer ti dà un'espressione in una funzione ben nota; l'intersezione (reale) interessante risulta essere a $C$

$\qquad \displaystyle n = e^{-W_{-1}(-\frac{\ln 2}{C})}$

se , con la continuazione analitica della funzione di registro del prodotto . Questa funzione non ha una bella forma chiusa, ma può essere valutata numericamente per una data ; per esempio, ottieni per . $C \geq e \ln 2$ $W_k$ $C$ $\approx 116,74$ $C=17$

— Raffaello
fonte

Solo assicurandomi: hai interpretato la mia equazione come se avesse il log naturale o log-base-2? Dovrei chiarire che ogni istanza di log (n) è di base 2 e modificherà la domanda in modo appropriato.

— DoggoDougal,

In CS, usiamo solitamente , mentre i matematici assumono . Pertanto, dove uso è alla base , si notano eccezioni. Questo è (probabilmente) in cui proviene da nel risultato.

\log = \log_{2}

$\log = \log_2$

\log = \ln

$\log = \ln$

\log

$\log$

2

$2$

\ln 2

$\ln 2$

— Raffaello