Il castoro indaffarato è la funzione in più rapida crescita conosciuta dall'uomo?

Ho appena avuto questa domanda interessante. Qual è la funzione in più rapida crescita conosciuta dall'uomo? È occupato il castoro ?

Conosciamo funzioni come , ma questa funzione cresce più lentamente di , che a sua volta cresce più lentamente di, che a sua volta cresce più lentamente di . Possiamo quindi combinare le funzioni, per avereche cresce più velocemente di e così via.$x^2$$2^x$$x!$$x^x$$(x^x)!$$x^x$

Quindi arriviamo a funzioni ricorsive come la funzione Ackermann che cresce molto più velocemente di. Quindi la gente pensa alla funzione di castoro occupata che cresce ancora più velocemente della funzione di Ackermann.$A(x,x)$$(x^x)!$$B(x)$

A questo punto non ho sentito parlare di altre funzioni che crescono più velocemente del castoro indaffarato. Significa che non ci sono altre funzioni che possono eventualmente crescere più velocemente del castoro occupato? (A parte il fattoriale di e come , ecc.)$B(x)$$A(B(x), B(x))$

La funzione di castoro occupato cresce più velocemente di qualsiasi funzione calcolabile . Tuttavia, può essere calcolato da una macchina di Turing a cui è stato dato accesso a un oracolo per risolvere il problema di arresto. È quindi possibile definire una funzione di castoro occupato di "secondo ordine", che cresce più velocemente di qualsiasi funzione che può essere calcolata anche da qualsiasi macchina di Turing con un oracolo per il problema di arresto. Puoi continuare a farlo per sempre, costruendo una gerarchia di funzioni di castori indaffarate sempre più veloci.

Vedi l'eccellente saggio di Scott Aaronson su questo argomento, Chi può nominare il numero più grande? .

Non esiste "la funzione in più rapida crescita". In effetti, non esiste nemmeno una sequenza di funzioni in più rapida crescita. Questo è già stato mostrato da Hausdorff. Date due funzioni , supponiamo che g cresca più velocemente di f se lim n → ∞ g ( n $f,g\colon \mathbb{N} \longrightarrow \mathbb{N}$$g$$f$ Data una funzionef, la seguente funzionegcresce più velocemente dif:g(n)=nf(n). Data una sequenza di funzionifn, la seguente funzionegcresce più velocemente di tutte:g(n)=nmaxm≤nfm(n)

$$\lim_{n\rightarrow\infty} \frac{g(n)}{f(n)} = \infty.$$ $f$$g$$f$ $$g(n) = nf(n).$$ $f_n$$g$ $$g(n) = n \max_{m \leq n} f_m(n).$$ Una domanda naturale da porsi è se esiste una "scala" di funzioni in più rapida crescita. Questo è un insieme ben ordinato di funzioni che è "cofinale", ovvero, data qualsiasi funzione f , esiste una funzione g α a crescita più rapida . (Invece di un set ben ordinato, possiamo equivalere a parlare di una catena, cioè ogni due funzioni nel set devono essere comparabili.) L'esistenza di una scala è indipendente da ZFC: supponendo CH, c'è una scala, mentre nel modello di Cohen che falsifica CH (aggiungendo ω 1 reali), non esiste alcuna scala.$g_\alpha$$f$$g_\alpha$$\omega_1$

Altre risposte indirizzano direttamente la domanda. Per uno sfondo più approfondito, questo articolo di Lafitte sull'argomento considera il contesto più ampio di funzioni simili a castori indaffarati. Ha anche alcuni risultati e teoremi che adattano l'idea in un quadro più generale. Mostra che (informalmente) "funzioni simili a castori indaffarati" hanno una stretta connessione con i fenomeni di incompletezza di Chaitin (Teorema 2.1). Mostra anche che ci sono teorie che non sono abbastanza "potenti" per "comprendere" le affollate funzioni di castori, cioè che non sono dimostrabili in quelle teorie a causa dell'incompletezza legata a Godel. Mostra l'idea di assumere risultati simili al castoro come assiomi e una progressione logica delle teorie che risultano simili alle idee originariamente immaginate da Turing.

[1] Castori indaffarati impazziti da Grégory Lafitte. Astratto:

Mostriamo alcuni risultati di incompletezza alla Chaitin usando le funzioni di castoro occupato. Quindi, con l'aiuto della logica ordinale, mostriamo come ottenere una teoria in cui i valori delle funzioni del castoro indaffarato possono essere dimostrate in modo dimostrabile e utilizzarlo per rivelare una struttura sulla provabilità dei valori di queste funzioni.

I teoremi della gerarchia temporale e spaziale di Hartmanis-Stearns dimostrano che non esiste una funzione di "crescita più rapida" in termini di tempo o spazio perché la scala non ha limiti. Ma dà un ordinamento tale da poter confrontare tutte le funzioni calcolabili / ricorsive "ben educate". Ma molte funzioni matematiche "in rapida crescita" non sembrano essere state finora valutate in termini di complessità tempo / spazio nonostante sia un "gap" teorico alquanto ovvio o addirittura lampante. Ciò potrebbe portare a importanti "teoremi del ponte".