Calcoli infiniti a tempo finito

Questo è probabilmente un pensiero stupido, ma supponiamo di avere un computer che è programmato per eseguire una sequenza infinita di calcoli e supponiamo l' calcolo prende secondi. Quindi questo computer può eseguire un numero infinito di calcoli in un tempo limitato. $i^\text{th}$ $1/2^i$

Perché è impossibile? Esiste un limite inferiore per quanto tempo occorre per eseguire un calcolo non banale?

computability computation-models

— dsaxton
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Concetto correlato, calcoli infiniti usando energia finita: l'intelligenza eterna di Dyson .

— Peter,

Risposte:

Questo "tipo" di computer è noto come una macchina Zeno . Il suo modello computazionale rientra in una categoria chiamata Ipercomputazione . I modelli di ipercomputazione sono astrazioni matematiche e, a causa dei modi in cui sono definiti per funzionare, non sono fisicamente possibili.

Prendi ad esempio la tua macchina Zeno. Se immaginiamo che la macchina Zeno sia una macchina calcolatrice di qualsiasi tipo, non importa se utilizza un abaco o un circuito integrato. Supponiamo che i dati del programma utilizzati dalla macchina siano alimentati da un nastro infinitamente lungo di simboli (proprio come una macchina di Turing).

Naturalmente, dalla matematica sappiamo che:

$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}... = \sum_{n=1}^{\infty}(\frac{1}{2})^n$

che diciamo è uguale a . Quindi il calcolo dovrebbe essere completato in 1 secondo perché la somma converge assolutamente. $1$

Ma questa convergenza dipende, ovviamente, dal andare (e raggiungere) all'infinito. In senso fisico, ciò significa che man mano che il tempo necessario per ciascun calcolo si riduce, la "testina di lettura" della calcolatrice dovrà comprimere sempre più velocemente i simboli nel nastro. Ad un certo punto, questa velocità supererà la velocità della luce. $n$

Quindi, rispondendo alla tua seconda domanda, il limite assoluto più basso possibile su un calcolo sarebbe probabilmente nell'ordine del tempo di Planck, data la velocità della luce come principale fattore di limitazione nei modelli teorici, ma fisicamente plausibili di calcolo.

— Teoria di tutto
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Esistono anche i requisiti energetici per ogni operazione, capovolgendoli un po '

volte è necessario più ordini di grandezza in più di energia rispetto al nostro sole

2^{256}

$2^{256}$

— maniaco del cricchetto

Questo programma: 10: GOTO 10 termina sulla macchina Zeno?

— Cano64,

In termini più semplici, la matematica presuppone che un "calcolo" abbia una portata infinitamente divisibile. Tuttavia, non è il caso di nessuna macchina fisica, poiché alla fine raggiungi un punto in cui hai colpito la più piccola unità di lavoro che la macchina può eseguire. Non è possibile continuare a suddividere il calcolo dopo quel punto, anche se la matematica lo consente. In altre parole, la macchina si spegne molto prima che ti avvicini alla fine della serie infinita di calcoli. Ad un certo punto il tempo per calcolo smette di diminuire e si finisce per aver bisogno di tempo infinito.

— aroth,

@ Cano64 Non la penso così. Credo che il criterio per la decidibilità nell'ipercomputazione sia che la somma dei tempi del calcolo converga assolutamente.

— Teoria di tutto

Il tempo impiegato per un calcolo primitivo è limitato dalla velocità della luce e dalle dimensioni degli atomi, per quanto comprendiamo la fisica proprio in questo giorno, il 15 settembre 2015.

L'unità di calcolo deve essere costruita con qualcosa di dimensioni diverse da zero (atomi) e affinché il calcolo funzioni, l'elettricità o la luce dovranno comprimersi, il che sarà limitato da quanto tempo impiega la luce a passare attraverso il non -zero distanza.

— Dave Clarke
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Un esempio concreto nella recente storia della scienza che spinge i confini è la magnetoresistenza gigante , una scoperta vincitrice di un premio Nobel che ha consentito la densità dei dati su dischi rigidi precedentemente ritenuti impossibili. Ce ne sono molti, molti di più se torni indietro; prova a spiegare la possibilità di uno "smartphone" a una persona dal 1500 d.C. (Potrebbero semplicemente bruciarti come una strega, quindi stai attento.) Quindi penso che non dovremmo supporre che la nostra attuale conoscenza della fisica induca forti limiti su ciò che è possibile.

— Raffaello

-1

$\Sigma_{n=1}^\infty (\frac{1}{2})^n$ $1$

$\frac{1}{2}$ $\frac{1}{4}$ $\frac{3}{4}$

$c_1$ $c_1$

Modifica : Come notato da @aroth, questa analogia presuppone che possiamo continuare a dividere l'acqua per sempre; che non esiste un atomo indivisibile più piccolo. Il che solleva l'interessante (credo) punto che dobbiamo anche presumere che il tempo sia arbitrariamente divisibile affinché il calcolo finisca in tempo finito.

— epa095
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"e altrettanto chiaramente avrai sempre più acqua nel secchio blu da versare" - Non necessariamente. Con un apparato di versamento sufficientemente preciso alla fine raggiungerai un punto in cui ci sono 2 molecole di acqua nel secchio blu. Quindi 1 molecola. Quindi versi l'ultima molecola, oppure no. Oppure lo scomponi nei suoi atomi di base, ma poi non è più acqua (o versabile a STP). Il punto è che scenderai fino all'ultima molecola di acqua ben prima di arrivare alla fine della serie infinita, quindi non ci sarà "sempre" acqua nel secchio blu.

— aroth

@aroth: sì, per far funzionare l'analogia devi pensare all'acqua come a una "densità" soddisfacente, una sorta di "sempre divisibilità". Il tuo punto è interessante in quanto evidenzia qualcosa di importante; affinché il calcolo termini in tempo finito, anche il tempo deve essere denso / sempre divisibile. Se esiste un periodo di tempo più breve, un'unità di tempo atomica non divisibile, il calcolo infinito richiederà un tempo infinito (o ogni calcolo non deve richiedere tempo dopo ogni punto).

— epa095,

\sum_{i = 1}^{\infty} 2^{- i}

$\sum_{i=1}^\infty 2^{-i}$

2^{- i}

$2^{-i}$ una "quantità di acqua" anziché un "numero razionale".

— David Richerby,

@ David-Richherby: non è riaffermare il problema in un modo diverso, dando un modo più semplice di pensarci, esattamente cosa significa fornire intuizione? Si noti inoltre che lo sei anche riaffermando il problema, dalla quantità di tempo alla somma dei numeri razionali. Un passo (estremamente) breve sì, ma comunque una riformulazione. Se sei a conoscenza della convergenza di somme di numeri razionali, tale riformulazione rende più facile la comprensione, ma per alcuni sono certo che sia più facile comprenderlo in termini di acqua. È almeno come ho capito per la prima volta perché alcune somme infinite convergessero e altre no.

— epa095,

@ epa095 Fornire intuizione implica spiegare una situazione non familiare facendo riferimento a una situazione familiare e usare la familiarità con una situazione per aiutare a capire l'altra. Non lo stai facendo: stai cercando di spiegare una situazione sconosciuta (calcolando una somma infinita e convergente) con un'altra (versando secchi d'acqua infinitamente divisibile con la massima precisione). Le persone che conoscono la convergenza delle somme non hanno bisogno dell'analogia; per le persone che non conoscono la convergenza delle somme, la ridenominazione di "numero razionale" in "quantità di acqua ipotetica" non aiuta.

— David Richerby,