Polinomio cromatico di un quadrato

Considera un quadrato, ABCD. Intuitivamente mi è sembrato che il suo polinomio cromatico sia dove sono disponibili i colori .$\lambda(\lambda - 1)(\lambda - 1)(\lambda - 2)$$\lambda$

Cioè ci sono modi in cui può essere scelto un colore per A, ci sono modi per i colori per B e D (B e D sono adiacenti ad A) e modi per colori per la raccolta di C.$\lambda$$\lambda - 1$$\lambda - 2$

Tuttavia, usando il teorema di decomposizione (diapositiva 47, Esempio 11.33) e scomponendo il quadrato in un percorso di lunghezza 3 e un triangolo, mostra che il mio ragionamento iniziale è sbagliato.

Potresti dirmi dove sto sbagliando con il mio pensiero.

Devi ricordare che i vertici diagonali tra loro possono essere colorati allo stesso modo! La tua formula non ne tiene conto. Possiamo trovare il numero cromatico di un grafico tramite il principio di inclusione-esclusione. È una tecnica di conteggio molto generale che ci consente di contare strutture complesse, se possiamo dimostrare determinati limiti su determinati sottoinsiemi.

L'idea principale è che contiamo tutti i modi possibili in cui si verificano alcune proprietà. Quindi rimuoviamo alcuni elementi "cattivi". Tuttavia, potremmo aver rimosso troppo e aggiungere alcuni "buoni" elementi. Questo va avanti e indietro fino a quando non abbiamo esaminato tutti i sottoinsiemi.

Il principio di inclusione-esclusione ci dice che, dato un certo insieme di basi , il numero di elementi di che si trovano in nessuno dei sottoinsiemi è $|X|=n$$X$$A_i$

$$\sum_{I \subseteq [n]} (-1)^{|I|}|A_I| \text{, where } \\ I \text{ is the set of indices in } X \text{ and } A_I = \bigcap_{i \in I} A_i$$

Sia il numero di colori e sia l'insieme di tutti i coloranti possibili (ovvero, ) e sia$\lambda$$X$$|X| = \lambda^4$

$$A_{e} = \{\text{coloring} : e=(i,j) \in E, \text{color}(i) = \text{color}(j) \}$$

Prima di ottenere il nostro polinomio finale, dobbiamo contare la dimensione dei nostri set e la dimensione di tutti i sottoinsiemi che si intersecano.$A_{e}$

Osservare che . Ciò è dovuto al fatto che stiamo semplicemente colorando ma selezionando sempre gli stessi colori per i vertici vicini. Andando avanti abbiamo,$|A_{12}| = |A_{23}| = |A_{34}| = |A_{41}| = \lambda^3$$G$

$|A_{12} \cap A_{23} | = |A_{23} \cap A_{34} | = |A_{34} \cap A_{41}| = |A_{41} \cap A_{12}| = |A_{12} \cap A_{34}| = |A_{41} \cap A_{23}| = \lambda^2$

Non ho intenzione di elencare ogni 3 set, ma hanno tutti lo stesso conteggio. . E, infine, . Ora raccogliamo i nostri termini e sommiamo.$|A_e \cap A_{e'} \cap A_{e''}| = \lambda$$|A_{12} \cap A_{23} \cap A_{34} \cap A_{41}| = \lambda$

$$\lambda^4 - 4\lambda^3 + 6\lambda^2 - 4\lambda + \lambda = \lambda^4 - 4\lambda^3 + 6\lambda^2 - 3\lambda$$

Ora contare con inclusione-esclusione per questo problema non era poi così male perché avevamo un semplice 4 cicli. Se il grafico avesse più struttura sarebbe rapidamente fastidioso capire ogni dimensione di intersezione per tutte le possibili intersezioni.

La risposta di Nicholas sopra e questa mi ha aiutato a vedere il difetto nel mio pensiero. Ho pensato di elaborare più specificamente su Nicholas ',

Devi ricordare che i vertici diagonali l'uno dall'altro possono essere colorati allo stesso modo

e anche ottenere il polinomio cromatico adattandomi al mio ragionamento sbagliato.

Inizialmente avevo pensato che ci fossero modi di scegliere i colori per C. Il "-2" spiegava che i colori erano diversi da quelli di B e D. Quello che non ho pensato è che B e D possono avere il stessi colori nel qual caso ci sarebbe solo modo di scegliere i colori per C. Quindi$\lambda - 2$$\lambda - 1$

$P(ABCD, \lambda)$ = Numero di modi per colorare correttamente ABCD quando B e D sono dello stesso colore + Numero di modi per colorare correttamente ABCD quando B e D sono colorati in modo diverso
=$λ(λ−1)(1)(λ−1) + λ(λ−1)(λ−2)(λ−2)$