Algoritmo per minimizzare la superficie, dato volume

Considera il seguente compito algoritmico:

Input: un numero intero positivo $n$ , insieme alla sua scomposizione in fattori primi
Trova: numeri interi positivi $x,y,z$ che minimizzano $xy+yz+xz$ , soggetto alla restrizione che $xyz=n$

Qual è la complessità di questo problema? Esiste un algoritmo del tempo polinomiale? NP è difficile?

Questo problema si pone fondamentalmente: tra tutti i solidi rettangolari il cui volume è $n$ e le cui dimensioni sono tutti numeri interi, quale ha l'area minima?

Questo problema è stato posto da Dan Meyer, con il titolo Il problema di matematica che 1.000 insegnanti di matematica non potevano risolvere . Finora nessuno degli insegnanti di matematica con cui ha lavorato ha trovato un algoritmo ragionevole per questo problema. Nel suo contesto, la definizione di "ragionevole" è un po 'imprecisa, ma come scienziati informatici possiamo porre una domanda più precisa sulla complessità di questo problema.

L'approccio ovvio è enumerare tutte le possibilità per , ma ciò richiede tempo esponenziale. I commentatori del blog di Dan Meyer hanno proposto molti algoritmi candidati efficaci che purtroppo si sono rivelati tutti errati. Martin Strauss suggerisce che questo problema sembra vagamente ricordare la 3-partizione , ma non riesco a vedere una riduzione.$x,y,z$

Vorrei anche chiarire alcune idee sbagliate che ho visto nei commenti / risposte:

• Non è possibile ridurre da 3 partizioni semplicemente sostituendo ogni numero con la sua potenza 2 q , poiché le funzioni oggettive dei due problemi sono diverse. L'ovvia riduzione semplicemente non funziona.$q$$2^q$

• Non è vero che la soluzione ottimale consiste nel selezionare uno di come divisore più vicino da n a 3 $x,y,z$$n$ . Vedo più persone che presumono che questo sia un caso, ma in realtà non è corretto. Questo è già stato smentito sul post sul blog di Dan Meyer. Ad esempio, consideran=68; 3$\sqrt[3]{n}$$n=68$e 4 divide 68, quindi potresti pensare che almeno uno dix,y,zdovrebbe essere 4; tuttavia, ciò non è corretto. La soluzione ottimale èx=2,y=2,z=17. Un altro controesempio èn=222,3$\sqrt[3]{68} \approx 4$$x,y,z$$x=2$$y=2$$z=17$$n=222$, ma la soluzione ottimale èx=37,y=3,z=2. (Potrebbeessere vero che per tuttin, la soluzione ottimale prevede che almeno uno dix,y,zsia uguale al divisore più piccolo dinmaggiore di3$\sqrt[3]{222}\approx 6$$x=37$$y=3$$z=2$$n$$x,y,z$$n$ ola più grande divisore dinminore di3$\sqrt[3]{n}$ $n$ - Non ho un controesempio in questo momento - ma se pensi che questa affermazione sia vera, avrebbe bisogno di prove. Non puoi assolutamente presumere che sia vero.)$\sqrt[3]{n}$

• "Rendi della stessa dimensione" non sembra necessariamente fornire la risposta ottimale in tutti i casi; vedi il post sul blog di Dan Meyer per controesempi. O, almeno, per alcune interpretazioni ragionevoli della frase "rendili approssimativamente della stessa dimensione", ci sono controesempi che dimostrano che questa strategia non è in realtà ottimale. Se vuoi provare qualche strategia di quel tipo, assicurati di dichiarare il reclamo con precisione e quindi fornire un'attenta prova matematica.$x,y,z$

• Un tempo di esecuzione di non è polinomiale. Perché questo problema si trovi in ​​P, il tempo di esecuzione deve essere un polinomio nella lunghezza dell'input . La lunghezza dell'input è qualcosa come lg n , non n . L'ovvio algoritmo a forza bruta può essere fatto funzionare in tempo O ( n 3 ) o O ( n 2 ) , ma questo è esponenziale in lg n e quindi conta come un algoritmo a tempo esponenziale. Quindi ciò non è utile.$O(n^3)$$\lg n$$n$$O(n^3)$$O(n^2)$$\lg n$

Ecco una versione modificata di un algoritmo "scegli il divisore vicino alla radice del cubo". Deve ancora forzare molti casi, quindi non sono sicuro di quanto sia un vero miglioramento la velocità rispetto all'enumerazione di tutti i casi. Tuttavia, l'ho presentato come una correzione all'algoritmo su OEIS (quello che ha generato risultati errati) perché credo che dovrebbe essere accurato almeno.

Ecco l'algoritmo per trovare (s1, s2, s3) e l'area superficiale di un prisma rettangolare dato il suo volume n:

1. Dato n, trova la radice del cubo.
2. Impostare un valore intero iniziale s1 sul soffitto della radice del cubo.
3. Verifica se s1 è un divisore di n e, in caso contrario, riduci s1 di 1.
4. Se viene trovato un divisore s1, imposta un iniziale s2 come soffitto della radice quadrata di (n / s1).
5. Quindi prova per vedere se s2 è un divisore di n / s1 e, in caso contrario, riduci s2 di 1.
6. Quando viene trovato un divisore s2, s3 viene impostato su n / (s1 * s2).
7. La superficie attuale viene calcolata da 2 * (s1 * s2 + s1 * s3 + s2 * s3).
8. L'attuale SA viene confrontata con il minimo corrente. Se viene calcolata la prima superficie, viene memorizzata come minSA. Dopo il primo, testiamo per vedere se l'attuale SA è più piccola di minSA e, in tal caso, la memorizziamo in minSA.

Questo algoritmo enumera alcune delle triple (s1, s2, s3) ma deve solo testare i divisori sotto la radice del cubo. (Dal momento che non tutti e tre i divisori possono essere al di sopra della radice del cubo). In modo simile, s2 deve solo testare i divisori di n / s1 sotto la radice quadrata di n / s1, poiché non entrambi i divisori possono essere sopra la radice quadrata)

Una nota sul passaggio 3: se la radice del cubo è un divisore, allora n è un cubo e possiamo fermarci lì con una superficie minima 6 * s1 ^ 2 dalla casella (s1, s1, s1).

Pitone:

import math
def minSArectprism(n):
    s1_0 = int(math.ceil(n ** (1 / 3.0))) 
    minSA=-1
    s1 = s1_0
    while s1>=1:
        while n % s1 > 0:  
            s1 = s1 - 1
        s1quot = int(n/s1) 
        s2_0 = int(math.ceil(math.sqrt(n/s1)))
        s2 = s2_0
        while s2>=1:
            while s1quot % s2 > 0:
                s2 = s2 - 1
            s3 = int(n / (s1 * s2))  
            SA = 2*(s1*s2 + s1*s3 + s2*s3)  
            if minSA==-1:
                minSA=SA
            else:
                if SA<minSA:
                    minSA=SA
            s2 = s2 - 1
        s1 = s1 - 1    
    return minSA

Il problema sarebbe ovviamente correlato alla complessità del factoring se non fossero fornite scomposizioni prime. Dati i fattori e prendendo i registri di tutti i fattori primi, questo problema sembra essere più o meno lo stesso di minimizzare la deviazione dalla media delle somme delle partizioni (esercizio, forse analiticamente o sperimentalmente, trova quanto questa intuitiva approssimazione del il problema è valido).$k$

Questo è il caso a 3 vie (le somme delle partizioni sono ). caso 2 vie è stato ampiamente studiato ed è NP disco (da 1 ^v ref). (Questo caso a 2 vie non è esattamente lo stesso del noto problema della partizione a 2 vie NP completo in cui le somme di partizione sono uguali. Nota che le somme di partizione uguali implicano 0 deviazione nelle somme di partizione e viceversa. ) Il 2 ^° ref studi studia 3- partizionamento way e n -way, in parte empiricamente, dove non c'è tanto studio quanto il caso a 2 vie.$\log(x), \log(y), \log(z)$$n$

• Il problema più semplice: partizionamento dei numeri / Mertens

• Partizionamento numerico multidirezionale / Korf

Edit

Here’s an informal argument for why a fast algorithm is unlikely to exist. That sentence hasn't changed, but I’ve taken out what used to be here because it was structured too much like the formal proof in the next section and the discussion was getting sidetracked onto its bugs, some of which I noticed myself and one of which D.W. kindly pointed out to me. Let me instead try to express the intuition behind it.

The clever approaches to this problem seem to be focusing on finding ways to partition the prime factors of $N$ into three lists and quickly prune most of the combinations without needing to check them. So suppose this approach works, that is, it gives you a P-time algorithm for finding the optimal box.

What happens when we translate the same steps into a different algebra, such as addition and subtraction instead of multiplication and division? We know (see lemma below) that our algorithm will find a 3-partition whose products are equal, if one exists, or else determine that no such 3-partition exists. So, if we could translate the same techniques into the additive group, we could find a 3-partition whose sums are equal, or determine that no such partition exists. In other words, we could solve 3-partition in polynomial time. That’s not very plausible.

So, why might such an algorithm work for multiplication and fail for addition? One possible reason is that every integer has a unique prime factorization under multiplication, but is cyclic under addition. Another is that multiplication forms a ring with addition, so you have another set of operations you can use. Another is that you would have to generalize the algorithm to work for non-primes, and it might depend on their primality. The one D.W. pointed out is that the specific method of translation might exponentially increase the size of your inputs. And maybe P = NP after all.

But if those are the loopholes that let a fast algorithm work, I think it’s still useful to know, because it suggests where we should focus our efforts. We should be looking for something that would break if we tried to apply it to a NP-complete problem. An approach that would generalize to other algebras is probably barking up the wrong tree. I suspect, though, that multiplication is not really different enough for that to work, but that’s just a hunch.

Lemma

Let $m = \sqrt[3]{N}$. For any solution $(am, bm, \frac{m}{ab})$, where $a$ and $b$ are positive, the weight of the solution is $(ab + \frac{1}{a} + \frac{1}{b})m^2$ and is minimized when $a = b = 1$.

Proof: We see immediately from the restriction $xyz = N$ that any arbitrary solution has this form.

Its weight is $(am)(bm) + (am)(\frac{m}{ab}) + (bm)(\frac{m}{ab}) = abm^2 + \frac{m^2}{b} + \frac{m^2}{a} = (ab+\frac{1}{a}+\frac{1}{b})m^2$.

Let $f(a,b) = ab + \frac{1}{a} + \frac{1}{b}$. To minimize this function, we take the partial derivatives $\frac{\delta f}{\delta a} = b - \frac{1}{a^2}$ and $\frac{\delta f}{\delta b} = a - \frac{1}{b^2}$. The critical point where these partial derivatives are zero comes where $a = b^2, b = a^2$, and therefore, since $a$ and $b$ must be real numbers greater than 0, $a = b = 1$. We see from the matrix of second-order partial derivatives that this is a global minimum.

My immediate motivation to prove this was to fill in a hand wave in my proof above that, if a perfect-cube solution exists, it is optimal. However, this formula could be useful for pruning the search tree.

Assorted Thoughts

I don’t see any obvious symmetry except the interchangeability of x, y and z, which only gives us at best a constant factor of 6. We do have some speedups for the 2-partition that basically say we’d want both terms to be as close to each other as possible, but I don’t immediately see an application to this problem.

Off the top of my head, simply taking the log of all the numbers immediately reduces this to a classic 3-partition problem using addition, or equivalently, taking some number to the power of the numbers in any 3-partition addition problem turns it into a multiplication problem such as this. That implies this problem should not be any easier. We do have here the prime factorization, whereas that factorization would not be prime, but does that help us?

Graphically, the surface xyz = 0 would look like the union of the xy-, yz- and xz-planes, and for any positive n, the equation would look like y = n/xz, so each slice along a coordinate plane would be a hyperbola. We can generally say that the quantity we’re trying to minimize is lowest at the origin and grows most rapidly along the line where x = y = z. If we can search only along this manifold, we might be able to reduce to a two-dimensional problem.