Su "L'altezza media dei platani piantati" di Knuth, de Bruijn e Rice (1972)

Sto cercando di derivare il classico documento nel titolo solo con mezzi elementari (nessuna funzione generatrice, nessuna analisi complessa, nessuna analisi di Fourier) sebbene con molta meno precisione. In breve, "solo" voglio dimostrare che l'altezza media $h_n$ di un albero con $n$ nodi (ovvero il numero massimo di nodi dalla radice a una foglia) soddisfa $h_n \sim \sqrt{\pi n}$ .

$A_{nh}$ $h$ $A_{nh} = A_{nn}$ $h \geqslant n$ $B_{nh}$ $n$ $h+1$ $B_{nh} = A_{nn} - A_{nh}$ $h_n = S_n/A_{nn}$ $S_n$

S_{n} = \sum_{h ⩾ 1} h (A_{n h} - A_{n, h - 1}) = \sum_{h ⩾ 1} h (B_{n, h - 1} - B_{n h}) = \sum_{h ⩾ 0} B_{n h} .

$S_n = \sum_{h \geqslant 1} h(A_{nh} - A_{n,h-1}) = \sum_{h \geqslant 1} h(B_{n,h-1} - B_{nh}) = \sum_{h \geqslant 0} B_{nh}.$ È noto che , poiché l'insieme di alberi generali con nodi è in biiezione con l'insieme di alberi binari con nodi , contati dai numeri catalani.

A_{n n} = \frac{1}{n} (\binom{2 n - 2}{n - 1})

$A_{nn} = \frac{1}{n}\binom{2n-2}{n-1}$

n

$n$

n - 1

$n-1$

Pertanto, il primo passo è trovare e quindi il termine principale nell'espansione asintotica di . $B_{nh}$ $S_n$

A questo punto gli autori usano la combinatoria analitica (tre pagine) per derivare

B_{n + 1, h - 1} = \sum_{k ⩾ 1} [(\binom{2 n}{n + 1 - k h}) - 2 (\binom{2 n}{n - k h}) + (\binom{2 n}{n - 1 - k h})] .

$B_{n+1,h-1} = \sum_{k \geqslant 1} \left[\binom{2n}{n+1-kh} - 2\binom{2n}{n-kh} + \binom{2n}{n-1-kh}\right].$

Il mio tentativo è il seguente. Considero la biiezione tra alberi con nodi e percorsi monotonici su una griglia quadrata da a che non attraversano la diagonale (e sono composti da due tipi di passaggi: e ). Questi percorsi sono talvolta chiamati percorsi o escursioni Dyck . Ora posso esprimere in termini di percorsi reticolari: è il numero di percorsi Dyck di lunghezza 2 (n-1) e altezza maggiore o uguale a . (Nota: un albero di altezza è in biiezione con un percorso Dyck di altezza .) $n$ $(n-1) \times (n-1)$ $(0,0)$ $(n-1,n-1)$ $\uparrow$ $\rightarrow$ $B_{nh}$ $h$ $h$ $h-1$

Senza perdita di generalità, suppongo che inizino con (quindi restano sopra la diagonale). Per ogni percorso, considero il primo passo che attraversa la linea , se presente. Dal punto sopra, fino all'origine, cambio in e viceversa (questo è un riflesso sulla linea ). Diventa evidente che i percorsi che voglio contare ( ) sono in biiezione con i percorsi monotonici da a che evitano i confini e . (Vedi figura .) $\uparrow$ $y = x + h - 1$ $\uparrow$ $\rightarrow$ $y=x+h$ $B_{nh}$ $(-h,h)$ $(n-1,n-1)$ $y=x+2h+1$ $y=x-1$

Nel libro classico Lattice Path Counting and Applications di Mohanty (1979, pagina 6) la formula conta il numero di percorsi monotonici in un reticolo da a , che evita i confini e , con e . (Questo risultato è stato stabilito per la prima volta dagli statistici russi negli anni '50). Pertanto, considerando una nuova origine in , soddisfiamo le condizioni della formula: ,

\sum_{k \in Z} [(\binom{m + n}{m - k (t + s)}) - (\binom{m + n}{n + k (t + s) + t})],

$\sum_{k \in \mathbb{Z}} \left[\binom{m+n}{m-k(t+s)} - \binom{m+n}{n+k(t+s)+t}\right],$

(0, 0)

$(0,0)$

(m, n)

$(m,n)$

y = x - t

$y = x - t$

y = x + s

$y = x + s$

t > 0

$t > 0$

s > 0

$s > 0$

(- h, h)

$(-h,h)$

s = 1

$s=1$

t = 2 h + 1

$t=2h+1$ e il punto di destinazione (nell'angolo in alto a destra) è ora . Quindi

(n + h - 1, n - h - 1)

$(n+h-1,n-h-1)$

Questo può essere semplificato in

B_{n h} = \underset{K \in Z}{Σ} [(\binom{2 n - 2}{n + h - 1 - K (2 h + 2)}) - (\binom{2 n - 2}{n - h - 1 + K (2 h + 2) + 2 h + 1})] .

$B_{nh} = \sum_{k \in \mathbb{Z}} \left[\binom{2n-2}{n+h-1-k(2h+2)} - \binom{2n-2}{n-h-1+k(2h+2) + 2h+1}\right].$

che, a sua volta, è equivalente a

B_{n + 1, h - 1} = \underset{K \in Z}{Σ} [(\binom{2 n}{n + 1 - (2 K + 1) h}) - (\binom{2 n}{n - (2 K + 1) h})],

$B_{n+1,h-1} = \sum_{k \in \mathbb{Z}} \left[\binom{2n}{n+1-(2k+1)h} - \binom{2n}{n-(2k+1)h}\right],$

La differenza con la formula prevista è che somma i numeri dispari (

), anziché tutti i numeri interi positivi (

B_{n + 1, h - 1} = \underset{K ⩾ 0}{Σ} [(\binom{2 n}{n + 1 - (2 K + 1) h}) - 2 (\binom{2 n}{n - (2 K + 1) h}) + (\binom{2 n}{n - 1 - (2 K + 1) h})] .

$B_{n+1,h-1} = \sum_{k \geqslant 0} \left[\binom{2n}{n+1-(2k+1)h} - 2\binom{2n}{n-(2k+1)h} + \binom{2n}{n-1-(2k+1)h}\right].$

2 k + 1

$2k+1$

k

$k$

Qualche idea su dove sia il problema?

— cristiano
fonte

Dici di voler usare solo cose elementari, ma usi un risultato di un libro. In che modo Mohanty deriva l'identità che usi?

— Raffaello

Definisco nella prima frase cosa intendo per "elementare": nessuna funzione generatrice, nessuna analisi complessa, nessuna analisi di Fourier. Nel suo libro, Mohanty usa mezzi elementari per ricavare quella formula, più precisamente, i principi di riflessione ed inclusione-esclusione su percorsi reticolari. (Uso il precedente sopra.) Se insisti, aggiungerò la sua prova alla fine della domanda.

— Christian,

Niente affatto, volevo solo assicurarmi di non infrangere la tua regola da solo.

— Raffaello

\sqrt{π}

$\sqrt{\pi}$

$(−h,h)$ $(n−1,n−1)$ $y=x+2h+1$ $y=x+h$

— frankw
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