Considerando solo l'alfabeto , le stringhe che possono essere fornite come input per le macchine di Turing provengono dall'insieme . Ma ha senso che l'input sia una stringa binaria infinita? Ad esempio, se una macchina Turing accetta tutte le stringhe che iniziano con uno 0, una stringa binaria di zeri infiniti appartiene anche alla lingua accettata dalla macchina Turing?Σ ∗
Risposte:
Non vi è alcun problema nell'esecuzione di una macchina Turing su un nastro inizializzato con una stringa infinita, sebbene questo non sia generalmente considerato. Tuttavia, abbiamo ancora bisogno che la macchina termini a tempo finito. Ci sono anche nozioni di calcolo a tempo infinito, che possono essere appropriate qui.
Questa è una delle caratteristiche delle macchine di tipo Turing di tipo 2 . Vengono utilizzati, tra le altre cose, per analizzare la calcolabilità delle funzioni tra numeri reali. Ancora più interessante, sono usati per analizzare la calcolabilità di operatori come l'integrazione.
Fatto interessante: l'integrazione numerica esatta è calcolabile.
Per rispondere alla domanda "ha senso", questo può essere utile anche se si considerano le macchine di Turing che funzionano a tempo finito.
In particolare, questo è un modo molto utile di pensare alle macchine Turing prive di prefissi . Si tratta di macchine il cui set di input di arresto è privo di prefisso; cioè, nessun input che causa l'arresto della macchina è il prefisso di un altro. Questi sono equivalenti in potenza alle normali macchine Turing, ma solo se permettiamo alla macchina Turing di decidere i propri input di arresto: vale a dire. l'utente non ha idea di quali input la macchina si fermerà (e questa è una proprietà indecidibile).
Un modo per vederlo è come una normale macchina di Turing con un nastro di input infinito unidirezionale con una testina che non può tornare indietro. L'utente riempie il nastro di bit e avvia la macchina. Questa è per definizione una macchina di Turing priva di prefissi. Se la macchina si arresta, deve aver letto solo un numero finito di bit e nessun prefisso di quella parte del nastro può essere un programma, altrimenti la macchina si sarebbe fermata lì.
Questo è un buon modo per parlare di distribuzioni di probabilità calcolabili: l'utente riempie il nastro con bit casuali (la fonte di casualità della macchina) e la macchina emette una stringa di bit casuale. L'insieme di tutte queste macchine di Turing corrisponde all'insieme delle distribuzioni calcolabili (in particolare le semimeasures semicomputabili inferiori).
Il vantaggio dell'input infinito è che non dobbiamo specificare cosa fa la macchina se le diamo il prefisso di un programma di arresto, vale a dire. la macchina prova a leggere oltre la fine dell'input che gli abbiamo dato.
Anche se non si dispone di un tale nastro, è possibile utilizzare un'altra macchina Turing per produrlo.
Una macchina Turing ha accesso al nastro dati vuoto, ma infinito (o alcune fonti dicono "la macchina ha solo una piccola fabbrica di nastri incorporata"). Quindi può inizializzarlo con alcuni schemi di dati programmabili e quindi il nastro potrebbe essere consumato come input di un'altra macchina Turing.
Naturalmente, se il contenuto è tale da non poter definire un algoritmo su come produrlo, tale contenuto non può essere creato dalla macchina di Turing.
Ci sono alcuni casi in cui l'input infinito può essere considerato e ridotto all'azione di una macchina di Turing "standard". Ad esempio, si consideri un modello finito ripetuto all'infinito specificato sull'input. È possibile creare una macchina Turing che tenga traccia di quanta parte di questo modello infinito è stata modificata dalle azioni correnti della testina usando una quantità finita di memoria / archiviazione su nastro. In altre parole, "simula in modo equivalente" un modello di dimensioni infinite sul nastro.
Un altro caso in cui è stato considerato "input infinito" è l'analisi dell'equivalenza / completezza di Turing degli automi cellulari. in una complessa dimostrazione, Cook ha introdotto un concetto ora definito da alcuni come "debole equivalenza di Turing" nel convertire le operazioni della regola CA 110 in operazioni della macchina di Turing che iniziano su un nastro iniziale specificato all'infinito ma con modelli (ripetuti) di dimensioni finite.
Nei linguaggi formali, una stringa è, per definizione, una sequenza finita di simboli. Una classica Turing Machine ha un nastro infinito con una stringa di input finita. Pertanto, sebbene non vi siano limiti alla durata dell'input, non può essere infinito.
Detto questo, ci sono molte macchine alternative che funzionano in modo simile a una TM ma con sequenze di input infinite.
Se abbia senso avere input di lunghezza infinita dipende dallo scopo. Rigorosamente nel contesto delle macchine di Turing, non ha senso (poiché non è possibile), ma nel contesto delle macchine simili a Turing, ha un senso e ha molte applicazioni.