Dijkstra per favorire la soluzione con il minor numero di spigoli se più percorsi hanno lo stesso peso

Puoi modificare qualsiasi grafico $G$ in modo che Dijkstra's trovi la soluzione con il numero minimo di spigoli così:

Moltiplicare ogni peso del bordo con un numero , quindi aggiungere al peso per penalizzare ogni bordo aggiuntivo nella soluzione, ad es$a$$1$

$w'(u,v)=a*w(u,v)+1$

Questo non funziona per tutti i valori di ; deve essere almeno affinché funzioni. Se non è questo numero minimo, potrebbe non scegliere il percorso più breve. Come trovo questo valore minimo ?$a$$a$$x$$a$$x$

Ps. Questo è stato fatto a livello ricreativo, ho fatto i compiti molto tempo fa.

Dato un grafico $G = (V,E,w)$, definiamo $G'=(V,E,w')$ con $w'(e) = aw(e) + 1$ dove $a = |E| + \varepsilon$ per alcuni $\varepsilon \geq 0$ come proposto nei commenti della domanda.

Lemma
Let$P$ un percorso dentro $G$ con il costo $C$, cioè $w(P)=C$. Poi,$P$ ha un costo $aC + |P|$ in $G'$, cioè $w'(P) = aC + |P|$.

Il lemma segue direttamente dalla definizione di $w'$.

Chiama il risultato di Dijkstra $G'$ $P$, che è il percorso più breve in $G'$. Assumere$P$ non era un percorso più breve con meno spigoli (tra tutti i percorsi più brevi) in $G$. Questo può accadere in due modi.

1. $P$ non è un percorso più breve in $G$.
   Quindi, c'è un percorso$P'$ con $w(P') < w(P)$. Come$|P|,|P'| \leq |E| \leq a$, questo implica anche questo $w'(P') < w'(P)$con sopra lemma¹. Questo contraddice questo$P$ è stato scelto come percorso più breve in $G'$.
2. $P$è un percorso più breve ma esiste un percorso più breve con meno spigoli.
   Quindi, c'è un altro percorso più breve$P'$ - ie $w(P) = w(P')$ -- con $|P'| < |P|$. Questo implica che$w'(P') < w'(P)$ al di sopra del lemma, che ancora una volta lo contraddice $P$ è un percorso più breve in $G'$.

Poiché entrambi i casi hanno portato a una contraddizione, $P$ è in effetti un percorso più breve con meno spigoli $G$.

Ciò copre metà della proposta. Che dire$a < |E|$, cioè $a = |E| - \varepsilon$ con $\varepsilon \in (0,|E|)$?

1. In realtà, ne abbiamo anche bisogno $a$ o tutti i pesi in $G$sono numeri interi. Altrimenti,$w(P') < w(P)$ non causa i pesi dentro $G'$ essere almeno $|E|$a parte. Questa non è una restrizione, comunque; possiamo sempre ridimensionare$w$ con un fattore costante in modo che tutti i pesi siano interi, supponendo che iniziamo con pesi razionali.