Notazione O grande nidificata

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Diciamo che ho un grafico $|G|$ con $|E|=O(V^2)$ bordi. Voglio eseguire BFS su $G$ che ha un tempo di esecuzione di $O(V+E)$ .

È naturale scrivere che il tempo di esecuzione su questo grafico sarebbe $O(O(V^2)+V)$ e quindi semplificare $O(V^2)$ .

Ci sono insidie nell'usare una scorciatoia "remove-the-nested-O" (non solo in questo caso, ma più in generale)?

terminology asymptotics landau-notation

— The Unfun Cat
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Se lavori attraverso la definizione di big-O, vedrai che gli O nidificati sono sia naturali che ridondanti, e che la regola di far cadere l'O interna è corretta.

— Dave Clarke,

Dato che V è in O (V ^ 2) immagino che potresti sostituire O (V ^ 2) con V se non sapessi cosa stavi facendo?

— The Unfun Cat,

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Se non sai cosa stai facendo, puoi fare cose arbitrariamente sbagliate.

— Dave Clarke,

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Infatti. = non è = in terra big-O.

— Dave Clarke,

3

Vedi anche questa eccellente domanda su math.SE about = nella notazione Landau.

— Raffaello

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Vorrei iniziare con una raccomandazione: tratta la notazione di Landau proprio come (dovresti) trattare l'arrotondamento: arrotondare raramente, arrotondare in ritardo. Se conosci qualcosa di più preciso di $O(.)$ , usalo fino a quando non hai finito con tutti i calcoli e alla fine Landauify.

Per quanto riguarda la domanda, analizziamo questo abuso della notazione¹. Come interpreteremmo qualcosa del genere $h \in O(f + O(g))$ ? Dovremmo sostituire $O$ con la sua definizione da dentro e fuori. Quindi otteniamo

$\qquad \displaystyle \exists g' \in O(g).\, h \in O(f + g')$

e poi

$\qquad \displaystyle \exists g' \in O(g).\,\exists d>0.\, \forall n.\, h(n) \leq d(f(n) + g'(n))$

che equivale a

$\qquad \displaystyle \exists c > 0.\,\exists d>0.\, \forall n.\, h(n) \leq d(f(n) + cg(n))$ .

Come certamente² $d(f(n) + cg(n)) \leq cd(f(n) + g(n))$ , vediamo che questo equivale a $h \in O(f + g)$ ; la perdita di precisione viene ignorata da $O$ Comunque.

Che dire di altre combinazioni, diciamo $h \in O(f + \Omega(g))$ ? Se proviamo lo stesso qui, otteniamo

$\qquad \displaystyle \exists g' \in \Omega(g).\, h \in O(f + g')$ .

Ma questa è una tautologia: $h$ è certamente delimitato da qualcosa di arbitrariamente grande. Quindi, combinare i limiti superiore e inferiore in questo modo non è significativo.

$O(.)$ e gli altri simboli Landau associano le funzioni alle classi di funzioni. Inserirla in una classe di funzioni non è immediatamente significativa.
Almeno se consideriamo solo funzioni positive, che possiamo tranquillamente assumere quando parliamo di runtime. Non sono sicuro che funzioni in generale.

— Raffaello
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Volevo solo aggiungere questo perché l'ho incontrato di recente. Mentre questo collegamento va bene con l'aggiunta e la moltiplicazione (quando non si mescolano $O$ con $\Omega$ ; vedere la risposta accettata), prestare attenzione quando si usano esponenti. Per esempio:

O (n^{O (m)}) \neq O (n^{m}) .

$O(n^{O(m)}) \not= O(n^m).$ In questo esempio,

n^{2 m}

$n^{2m}$ appartiene alla prima classe ma non alla seconda.

— jadhachem
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Per definizione, $O(g)$ è un set e se si utilizza questa notazione nidificata, si avrebbe un set in un set, il che sarebbe sbagliato.

La definizione della notazione O.

L'errore

Hai usato termini come $O(O(n)+k)$ dove k e n sono funzioni e $O(n)$ è un set. Ma qual è il risultato di una funzione aggiunta a un set? Non è definito!

Versione corretta

Invece di utilizzare i simboli Landau nidificati, puoi fare quanto segue: $O(m+k),m \in O(n)$

— Odin
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Sì, ma la notazione Landau viene spesso abusata per motivi di (presunta) facilità d'uso, quindi è meglio assicurarsi che tutti comprendano la stessa cosa. Vedi qui per un approccio strutturato.

— Raffaello

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Nella sezione 9.3 " $O$ Manipolazione "del libro Concrete Mathematics (Seconda Edizione), Knuth ha elencato alcune regole di manipolazione sul $O$ -notazione (Di seguito, suppongo che entrambi $f(n)$ e $g(n)$ sono positivi; notare che l'ordinamento delle regole è stato modificato).

\begin{matrix} (1) . n^{m} = O (n^{m^{'}}), m \leq m^{'} \\ (3) . f (n) = O (f (n)) \\ (5) . O (O (f (n))) = O (f (n)) \\ (4) . c \cdot O (f (n)) = O (f (n)) \\ (2) . O (f (n)) + O (g (n)) = O (f (n) + g (n)) \\ (6) . O (f (n)) O (g (n)) = O (f (n) g (n)) = f (n) O (g (n)) \end{matrix}

$\begin{gather} (1). \quad n^m = O(n^{m'}), \quad m \le m' \\ (3). \quad f(n) = O(f(n)) \\ (5). \quad O(O(f(n))) = O(f(n)) \\ (4). \quad c \cdot O(f(n)) = O(f(n)) \\ (2). \quad O(f(n)) + O(g(n)) = O(f(n) + g(n)) \\ (6). \quad O(f(n)) O(g(n)) = O(f(n) g(n)) = f(n) O(g(n))\\ \end{gather}$

Con (3), puoi avvolgere / scartare una funzione $f(n)$ con una notazione O. Quindi con (5), puoi effettivamente avvolgere / scartare (o chiamato, annidare ) volte arbitrariamente finite. Usando (4), puoi anche aggiungere / rimuovere i fattori di moltiplicazione costanti da / a $O$ .

Quindi, (2) e (6) consentono di manipolare nidificati $O$ -notazioni nel modo compatibile con $+$ e $\times$ .

— Hengxin
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