Data la funzione calcolabile, quali sono le condizioni per la calcolabilità della funzione inversa?

Se $f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$ è calcolabile e ha un inverso, in quali condizioni $f^{-1}$anche calcolabile? Non riuscivo a trovarlo in un libro di testo e googling riceve alcuni vaghi suggerimenti sul biiettivo, ma non sono riuscito a trovare un teorema chiaramente dichiarato in tal senso. Di mano, il biettivo sembra sufficiente ma non necessario, ad es.$f(n)=2n$ non è suriettivo ma è invertibile calcolabile (per una funzione totale inversa, usa il dominio sollevato $\mathbb{N}_\perp$ e mappare i numeri dispari a $\perp$). Oltre a una risposta, un riferimento a un teorema / dimostrazione sarebbe ottimo, o semplicemente il nome di un teorema rilevante in modo da poterlo google con successo.

Questa domanda mi è venuta in mente per quanto riguarda il seguente pensiero (che non sono riuscito a trovare in un libro di testo o in Google su nulla). La distinzione tra$f$ calcolabile e $f^{-1}$non, contro entrambi calcolabili, sembra in qualche modo analogo a una distinzione re-contro ricorsiva. Può essere espresso rigorosamente?

Ad esempio, considera $f:E\rightarrow E$, con $f\in D=[E\rightarrow E]$ il dominio dello spazio di funzioni (continuo Scott o Lawson) di alcuni domini $E$. Permettere$K_D$ essere $D$elementi compatti, $\downarrow f=\lbrace g\in K_D\mid g\sqsubseteq f\rbrace$, per cui $f=\sqcup\downarrow f$, tutto nel solito modo. Poi$f$ è calcolabile se un elenco di $\downarrow f$ Allo stesso modo, $f^{-1}$ è calcolabile se un elenco di $\downarrow f^{-1}$ è quindi Se entrambi sono calcolabili, nel senso che entrambe le enumerazioni sono, allora questo (almeno per me) sembra analogo al ricorsivo.

Certo, non è esattamente la stessa cosa di ricorsivo, dal momento che se $\mathbb{N}_f\subseteq\mathbb{N}$ è un elenco di $\downarrow f$e allo stesso modo per $\mathbb{N}_{f^{-1}}$, poi $\mathbb{N}_{f^{-1}}\neq\mathbb{N}\setminus\mathbb{N}_f$(almeno non credo). Ma sembra esserci una sorta di idea analoga che cerca di esprimersi. Quindi, come hai potuto formulare questo tipo di cose rigorosamente? Tra i primi passi, penso che vorresti esprimere$\mathbb{N}_{f^{-1}}$ in termini di $\mathbb{N}_f$, ma non vedo come procedere per l'impostazione (qualche suggerimento su come farlo?).

Quindi, questa idea è anche ben nota e discussa? Un manuale o un riferimento a Google (o termine di ricerca in grado di google) sarebbe fantastico. Grazie.

Diciamo che una funzione calcolabile $f$ è invertibile se esiste un'altra funzione calcolabile $g$ quello su input $y$ o trova $x$ tale che $f(x) = y$ o ritorna $\bot$ quando $y$ non ha preimage.

Per questa definizione, si può dimostrare che una funzione calcolabile $f$ è invertibile se e solo se il suo intervallo è decidibile, ovvero possiamo decidere se un determinato input ha una preimagine sotto $f$.