Se

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Abbiamo due lingue: $L_1,L_2$ . Lo sappiamo $L_1L_2$ è un linguaggio normale, quindi la mia domanda è se $L_2L_1$ è normale?

Cerco di trovare un modo per dimostrarlo ...

Ovviamente non posso supporre che $L_1,L_2$ sono regolari ...
Quindi cerco un modo per dimostrarlo.

Vorrei avere qualche suggerimento!

Grazie!

formal-languages regular-languages closure-properties

— stud1
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Continuiamo questa discussione in chat .

— Raffaello

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No, $L_2L_1$ non è necessariamente regolare.

Permettere $L_1 = \{0,1\}^*$ , che è regolare e $L_2 = \{1\} \cup \{0^n1^n\mid n\geq 1\}$ , che non è. Poi $L_1L_2$ è l'insieme di tutte le stringhe che terminano con $1$ , che è normale, ma $L_2L_1$ è l'insieme di tutte le stringhe che iniziano con $1$ , inizia con un numero diverso da zero $0$ seguito da almeno altrettanti $1$ S. Questa lingua non è regolare, poiché la sua intersezione con $\{0^m1^n\mid m,n\geq 1\}$ è $\{0^m1^n\mid 1\leq m\leq n\}$ , che non è regolare.

— David Richerby
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Grazie David, ma perché è il "

{1} \cup \dots

$\{1\}\cup \cdots$ " a

L_{2}

$L_2$ ? perché ne abbiamo bisogno? Grazie!

— stud1

1

@ stud1 Per assicurarlo

L_{1} L_{2}

$L_1L_2$ è regolare.

— David Richerby,

Ma

L_{1} L_{2}

$L_1L_2$ (senza il

{1}

$\{1\}$ ) sono ancora tutte le parole che finiscono con

1

$1$ , giusto? Quindi, cerco ancora di capire perché abbiamo bisogno di

{1}

$\{1\}$ , Spero vada bene lo sto chiedendo :-) Grazie!

— stud1

1

@ stud1 Se si elimina

{1}

$\{1\}$ quindi, ad esempio,

1 \notin L_{1} L_{2}

$1\notin L_1L_2$ . Più in generale, le uniche stringhe che sarebbero dentro

L_{1} L_{2}

$L_1L_2$ sarebbero quelli che finiscono in

0^{m} w^{n}

$0^mw^n$ per

m \geq n \geq 1

$m\geq n\geq 1$ .

— David Richerby,

1

@ stud1 Corretto.

— David Richerby,

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Ho pubblicato solo un suggerimento, quindi ho visto altre risposte complete, quindi questa è una soluzione completa (nascosta) succinta :-)

Permettere $L_1 = \{ 1^p \mid p \text{ is prime}\}$ , $L_2 = \{ 1^* 0 \}$ ; noi abbiamo $L_1 L_2 = \{ 11^+ 0\}$ che è normale, ma $L_2 L_1 = \{ 1^* 0 1^p \mid p \text { is prime}\}$ che non è regolare.

— vor
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Soluzione elegante!

— Anton Trunov,

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@AntonTrunov: abbastanza elegante :-)

L_{2} = {1^{*} 0}

$L_2 = \{1^* 0\}$ può essere usato per "mascherare" qualsiasi UNARIO non regolare

L_{1}

$L_1$ , ma non appena vengono scambiati

L_{1}

$L_1$ è di nuovo "esposto" :-)

— Vor

Di che significato si tratta

+

$+$ a

11^{+}

$11^+$ ?

— stud1

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@ Stud1:

1^{+}

$1^+$ significa "uno o più

1 s

$1s$ "; in altre parole è una" scorciatoia "per

{1^{n} ∣ n \geq 1}

$\{1^n \mid n \geq 1\}$ . Così

{11^{+} 0} = {110, 1110, 11110, . . .}

$\{ 11^+0 \} = \{ 110, 1110, 11110, ...\}$

— Vor

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Questo non è un suggerimento, ma una risposta completa. Non continuare a leggere se stai ancora cercando di risolvere.

Non ce n'è bisogno $L_2\cdot L_1$ essere regolari.

Permettere $A$ essere una lingua unaria (non regolare) tale che $A\cdot A$ è regolare. Tali lingue possono essere trovate nel post qui . Assumere $A$ è sopra l'alfabeto $\{a\}$ .

Definire $L_1=\{b\}\cdot A$ e $L_2=A\cdot \{b\}$ . Quindi ottieni $L_1\cdot L_2=\{b\}\cdot A^2\cdot \{b\}$ , che è regolare. Però, $L_2\cdot L_1=A\cdot \{bb\}\cdot A$ , che può essere facilmente dimostrato di non essere regolare, in base a $A$ essere non regolari.

— Shaull
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Le seguenti regole definiscono il linguaggio associato a qualsiasi espressione regolare. Regola 1 La lingua associata all'espressione regolare che è solo una singola lettera è quella sola parola di una lettera e la lingua associata ad A è solo {A}, una lingua di una sola parola. Regola 2 Se r, è un'espressione regolare associata alla lingua L, e r 2 è un'espressione regolare associata alla lingua L2,

(i) L'espressione regolare (rl) (r2) è associata alla lingua L, volte L 2. lingua (r, r2) = L1L 2 (ii) L'espressione regolare r, + r2 è associata alla lingua formata dal unione degli insiemi L1 e L2. lingua (rl + r2) = L, + L2 (iii) La lingua associata all'espressione regolare (rl) * è LI *, la chiusura di Kleene dell'insieme LI come un insieme di parole. lingua (rl *) = L1 *

— Shashi Kumar
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