Cast in booleano, per la programmazione lineare intera

Voglio esprimere il seguente vincolo, in un programma lineare intero:

y = {\begin{cases} 0 & Se X = 0 \\ 1 & Se X \neq 0. \end{cases}

$y = \begin{cases} 0 &\text{if } x=0\\ 1 &\text{if } x\ne 0. \end{cases}$

Ho già le variabili intere $x,y$ e mi viene promesso che $-100 \le x \le 100$ . Come posso esprimere il suddetto vincolo, in una forma adatta per l'uso con un risolutore di programmazione lineare intero?

Ciò richiederà presumibilmente l'introduzione di alcune variabili aggiuntive. Quali nuove variabili e vincoli devo aggiungere? Può essere fatto in modo pulito con una nuova variabile? Due?

Equivalentemente, questo sta chiedendo come applicare il vincolo

y \neq 0 se e solo se X \neq 0.

$y \ne 0 \text{ if and only if } x \ne 0.$

nel contesto in cui ho già dei vincoli che implicano e . $|x| \le 100$ $0 \le y \le 1$

(Il mio obiettivo è correggere un errore in https://cs.stackexchange.com/a/12118/755 .)

linear-programming integer-programming

— DW
fonte

Che cosa hai provato? Hai provato a elaborare alcuni esempi per vedere se vedi uno schema? Se sì, hai provato a fare un'ipotesi e poi hai provato a provarlo?

— Brika,

Eh! Vedo cosa hai fatto lì , @Brika. Se sei curioso di vedere cosa ho provato, vedi qui e anche questa spiegazione del perché era effettivamente sbagliato . Se vuoi vedere il mio prossimo tentativo, vedi la mia risposta . Grazie per aver letto le mie vecchie domande, e se possono essere migliorate per il futuro, mi piacerebbe sentire tutti i suggerimenti che potresti avere!

— DW

Ciò è molto buono. ;)

— Brika

Risposte:

Penso di poterlo fare con una variabile binaria aggiuntiva $\delta \in \{0,1\}$ :

- 100 y \leq X \leq 100 y

$-100y \le x \le 100 y$

0.001 y - 100.001 δ \leq X \leq - 0.001 y + 100.001 (1 - δ)

$0.001y-100.001\delta \le x \le -0.001y+100.001 (1-\delta)$

Aggiornare

Ciò presuppone che $x$ sia una variabile continua . Se restringiamo $x$ al valore intero , allora il secondo vincolo può essere semplificato in:

y - 101 δ \leq X \leq - y + 101 (1 - δ)

$y-101\delta \le x \le -y+101 (1-\delta)$

— Erwin Kalvelagen
fonte

Ho verificato questo corretto testandolo esaurientemente con un piccolo programma. Grazie per la soluzione!

— DW

@ErwinKalvelagen, potresti spiegare la tua logica con delta di variabile binaria, per un caso più generale, ad esempio, se y = {a: x> 0, b: x <0}.

— Nick,

@Nick La variabile binaria viene utilizzata per modellare un costrutto "OR". Vedi qui per una risposta alla tua domanda.

— Erwin Kalvelagen,

@ErwinKalvelagen, la grande risposta, ho cercato di applicare il tuo approccio alla mia domanda qui cs.stackexchange.com/questions/64794/… .

— Nick,

@GonzaloSolera In realtà mi sbagliavo: supponevo che

fosse una variabile continua. In effetti, quando

è valutato con un numero intero, possiamo spostare da 0,001 a 1 come suggerito.

x

$x$

x

$x$

— Erwin Kalvelagen,

Quanto segue non è affatto carino, ma funziona. Sia , nel caso specifico della domanda. Quindi abbiamo i seguenti vincoli. $0 \leq x \leq N$ $N=100$

$0 \leq z_1, z_2, z \leq 1$
$x - N(1-z_1) \leq 0$
$-x -Nz_1 \leq -1$
$-x -N(1-z_2) \leq 0$
$x -Nz_2 \leq -1$
$z_1 + z_2 - 1 \leq z$
$z \leq z_1$
$z \leq z_2$

L'intuizione è come segue. . Questo è codificato nei vincoli 2 e 3. Allo stesso modo i vincoli 4 e 5 codificano $z_1 = 1 \iff x \leq 0$ . Gli ultimi tre vincoli esprimono . $z_2 = 1 \iff x \geq 0$ $z = z_1 \land z_2$

— Pramod
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Questo sembra avere un bug. Suppongo che intendi

. Tuttavia, è ancora sbagliato per

: vogliamo forzare

(

) in questo caso, ma non c'è scelta per

che soddisfi tutte le equazioni, come l'equazione

richiede

(ovvero,

: vogliamo

z = 1 - y

$z=1-y$

x = 100

$x=100$

y = 1

$y=1$

z = 0

$z=0$

z_{1}, z_{2}

$z_1,z_2$

x - N z_{2} \leq - 1

$x-Nz_2 \le -1$

x < N

$x<N$

x \leq 99

$x \le 99$ ). Pertanto, questo ILP dà il risultato sbagliato quando

x = 99

$x=99$

, ma abbiamo

. Anche la gamma desiderata per

come indicato nella domanda è

, non

y = 1

$y=1$

y = 0

$y=0$

x

$x$

- N \leq x \leq N

$-N \le x \le N$

0 \leq x \leq N

$0 \le x \le N$

— DW

Ecco una soluzione che utilizza due variabili temporanee. Sia variabili integer zero-o-one, con il significato previsto che se , $t,u$ $t=1$ $x \ge 0$ $u=1$ se e . Questi possono essere applicati con i seguenti vincoli: $x \le 0$ $y=\neg(t \land u)$

\begin{aligned} 0 & \leq t, u, y \leq 1 \\ 1 + x & \leq 101 t \leq 101 + x \\ 1 - x & \leq 101 u \leq 101 - x \\ t + u - 1 & \leq 1 - y \\ 1 - y & \leq t \\ 1 - y & \leq u \end{aligned}

$\begin{align*} 0 &\le t,u,y \le 1\\ 1+x &\le 101t \le 101 + x\\ 1-x &\le 101u \le 101-x\\ t+u-1 &\le 1-y\\ 1-y &\le t\\ 1-y &\le u \end{align*}$

— DW
fonte

Questa risposta è errata, sfortunatamente. Vincolerà

dalla prima parte del primo vincolo non banale quando la domanda pone dato

. Gli errori di fencepost non sono divertenti? (Idem per

)

x \leq 99

$x \leq 99$

x \leq 100

$x \leq 100$

x \geq - 99

$x \geq -99$

— TLW

@TLW, grazie per averlo colto! Ho modificato la mia risposta per correggere il bug. L'ho provato esaurientemente con un piccolo programma e penso che ora dovrebbe essere corretto.

— DW