Collegamento tra cancelli NAND e completezza di Turing

So che le porte NAND possono essere utilizzate per creare circuiti che implementano ogni tabella di verità e che i moderni computer sono costituiti da porte NAND. Qual è il legame teorico tra le porte NAND e la completezza di Turing? Mi sembra che i circuiti di gate NAND siano più vicini agli automi finiti rispetto alle macchine Turing. La mia intuizione è che posso costruire infradito, e quindi registri e memoria, al di fuori delle porte della NAND, e la memoria illimitata è una proprietà cruciale dei sistemi completi di Turing. Sto cercando una spiegazione più teorica o matematica, o suggerimenti su cosa leggere.

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— BSM
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"I computer moderni sono costruiti con porte NAND" Sono abbastanza sicuro che sia falso. Le librerie di celle tipiche per i progetti digitali contengono decine quando non centinaia di porte e variano in funzione (cercare porte AOI), nonché in fan-in e fan-out.

— Programmatore

Hai ragione, intendevo in senso teorico che tutta la logica digitale può essere costruita su NANDS, che sono considerate funzionalmente complete

— bsm

Risposte:

C'è davvero poca connessione. Per una comprensione approfondita, lasciami spiegare la connessione tra programmi e circuiti .

Un programma (o algoritmo o macchina ) è un meccanismo per calcolare una funzione. Per sicurezza, supponiamo che l' input sia una stringa binaria e che l' output sia un output booleano . La dimensione dell'input è potenzialmente illimitata. Un esempio è un programma che determina se l'input è la codifica binaria di un numero primo. $x$ $b$

Un circuito (booleano) è una raccolta di istruzioni per calcolare alcune funzioni finite . Possiamo immaginare il circuito come un circuito elettrico, o pensarlo come una sequenza di istruzioni (questa visione è chiamata confusamente un programma a linea retta ). Concretamente, possiamo supporre che l' input sia una stringa binaria di lunghezza e che l' output sia booleano. Un esempio è un circuito che determina se l'ingresso codifica un numero primo (proprio come prima, solo ora l'ingresso deve essere di lunghezza ). $x$ $n$ $n$

Possiamo convertire un programma in un circuito che simula su ingressi di lunghezza . La sequenza corrispondente dei circuiti non è arbitraria - possono essere tutti costruiti da un programma che ha dato uscite . Chiamiamo una tale sequenza di circuiti un circuito uniforme (confusamente, spesso pensiamo alla sequenza come un "singolo" circuito per un indefinito ). $P$ $P_n$ $P$ $n$ $P_0,P_1,P_2,\ldots$ $n$ $P_n$ $P_n$ $n$

Non tutte le sequenze di circuiti sono uniformi. In effetti, una sequenza di circuiti può calcolare ogni funzione dalle stringhe al booleano, calcolabile o non calcolabile! Tuttavia, nella teoria della complessità siamo interessati a tali modelli non uniformi in cui i circuiti sono limitati. Ad esempio, la domanda P = NP afferma che i problemi NP-completi non possono essere risolti con algoritmi temporali polinomiali. Ciò implica che i problemi NP-completi non possono essere risolti da circuiti uniformi di dimensioni polinomiali. Si ipotizza inoltre che i problemi NP-completi non possano essere risolti da circuiti di dimensioni polinomiali senza il requisito di uniformità .

I modelli di calcolo completi di Turing sono modelli che realizzano tutte le funzioni calcolabili (e non di più). Al contrario, sistemi completi di gate (come AND, OR, NOT o NAND) consentono di calcolare funzioni finite arbitrarie utilizzando circuiti costituiti da questi gate. Tali sistemi completi possono calcolare funzioni completamente arbitrarie usando sequenze (illimitate) di circuiti.

— Yuval Filmus
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Puoi spiegare "una sequenza di circuiti può calcolare ogni funzione dalle stringhe al booleano, calcolabile o non calcolabile"? La loro capacità di calcolare funzioni non computabili (dal punto di vista della completezza di Turing) deriva dalla restrizione sulla dimensione dell'input?

— bsm,

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Puoi spiegarlo, @YuvalFilmus? Sembra strano che una funzione incontestabile come la complessità di Kolmogorov sarebbe improvvisamente "calcolabile" usando i circuiti.

— Cort Ammon - Ripristina Monica il

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In effetti hai ragione. Un circuito logico combinatorio equivale a un automa finito. I cancelli NAND non li rendono più potenti; sono usati perché è semplicemente più economico costruire un circuito logico digitale con un solo tipo di gate piuttosto che costruirlo con tutti i diversi gate. In effetti, una porta NAND può essere costruita solo da una porta AND e una porta NOT. Le infradito rendono il circuito di Turing completo. Ecco una chiave pratica:

Circuiti combinatori ~ Automi finiti ~ Lingue regolari ~ Espressioni regolari ~ Calcolo proposizionale ~ Programmi a linea retta

Circuiti sequenziali ~ Macchine di Turing ~ Linguaggi ricorsivamente enumerabili ~ Calcolo predicato ~ ricorsive $\mu$

Se vuoi saperne di più, c'è un ottimo libro che puoi scaricare gratuitamente in formato PDF che spiega tutto questo:

https://cs.brown.edu/people/jes/book/pdfs/ModelsOfComputation.pdf

— user628544
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