Trovare esempi di lingue "anti-palindromiche"

Lascia $\Sigma = \{ 0, 1 \}$ . Un linguaggio $L \subseteq \Sigma^*$ è detto di avere la proprietà "anti-palindromo" se per ogni stringa $w$ che è un palindromo, $w\notin L$ . Inoltre, per ogni stringa $u$ che è non un palindromo sia $u\in L$ o $\mathrm{Reverse}(u) \in L$ , ma non entrambi (!) (OR esclusivo).

Comprendo la proprietà anti-palindromo, ma non sono riuscito a trovare alcuna lingua con questa proprietà. Il più vicino che ho trovato è $\Sigma^* \setminus L$ , ma non ha la esclusiva o parte ... che è, per esempio, sia $01$ e $10$ sono in $L$ .

Qualcuno potrebbe darmi un esempio di una lingua che ha questa proprietà? O forse anche più di un singolo esempio, perché non riesco a vedere che tipo di limitazioni questo pone su una lingua. (Deve essere non regolare? Contesto libero? O nemmeno in $R$ ? Ed ecc.)

Un esempio sarà .$L = \{ x\ \ |\ \ binary(x) < binary(x^R), x\in [0,1]^*\}$

E ancora un altro esempio .$L' = \{ x\ \ |\ \ binary(x) > binary(x^R), x\in [0,1]^*\}$

L'idea è che se fai una regola per sceglierne solo una. Devi scegliere la regola in modo che i palindromi debbano essere respinti ( f ( x ) < f ( x R ) , per i palindromi devi avere f ( x ) = f ( x R ) ). Puoi anche cambiare l'alfabeto, ho preso alfabeto binario solo per ottenere una risposta rapida.$x \neq x^R$$f(x) < f(x^R)$$f(x)= f(x^R)$

e L ′ sopra non sono regolari. E ognilinguaggioanti-palindromicosarà non regolare e può essere cattivo come un linguaggio non-RE. Esempio di un linguaggio indecidibile: L = { x | tali che b i n un r y ( x ) < b i n un r y ( x R ) se entrambi x e x R ∉ Halt o entrambi x e x R ∈ Alt, altrimenti se$L$$L'$$L=\{x\ \ |\ \ $$binary(x)<binary(x^R)$$x$$x^R$ $\not\in$$x$$x^R$ $\in$ Halt$x \in$$\}$

Klaus Draeger ha spiegato nel commento qui sotto che il linguaggio anti-palindromico dato all'inizio della risposta è privo di contesto: $L=\{x0y1x^R\ |\ x,y\in\{0,1\}^*\}$

About generating a few examples:

$L$, we can define an associated $<$ as follows. We start by taking any enumeration $x_0,x_1,\ldots$ of $\{0,1\}^*$, where each word occurs exactly once. Then, we alter the enumeration: for each pair of non-palindromes $x,x^R$, we swap their position so to make the one that belongs to $L$ to appear before the other. The new enumeration induces a total ordering $<$ satisfying $(*)$.

That every $L$ defined as $(*)$ is non-palindrome is trivial, so $(*)$ is a complete characterization of non-palindrome languages.

Addressing the original question, we now know that we can obtain several examples of anti-palindrome languages $L$ by crafting orderings $<$. We also know that by doing that we are not restricting ourselves to a subclass of languages, losing generality.

About the question "can these languages be regular?":

To prove that any anti-palindrome $L$ is non regular, assume by contradiction it is regular.

1. Since regularity is preserved by reversal, $L^R$ is also regular.
2. Since regularity is preserved by union, $L \cup L^R$, which is the set of all the non-palindromes, is also regular.
3. Since regularity is preserved by complement, the set of all palindromes is regular.

From the last statement, we can derive a contradiction by pumping. (See e.g. here for a solution)

For what it's worth, here is a simple context-free grammar for one anti-palindromic language:

(In fact, this is the anti-palindromic language proposed by @shreesh, using lexicographic comparison for the less-than operator.)