Quando due simulazioni non sono una bisimulazione?

Dato un sistema di transizione etichettato , dove S è un insieme di stati, Λ è un insieme di etichette e → ⊆ S × Λ × S è una relazione ternaria. Come al solito, scrivi p α → q per ( p , α , q ) ∈ → . La transizione etichettata p α → q indica che il sistema nello stato p cambia lo stato in q con etichetta$(S,\Lambda,\to)$$S$$\Lambda$$\to\subseteq S\times\Lambda\times S$$p \stackrel\alpha\rightarrow q$$(p,\alpha,q)\in\to$$p\stackrel\alpha\to q$$p$$q$ , il che significa che α è un'azione osservabile che provoca il cambiamento di stato.$\alpha$$\alpha$

Ora una relazione è chiamata simulazione iff ∀ ( p , q ) ∈ R ,  se  p α → p ′  quindi  ∃ q ′$R \subseteq S \times S$

$$\forall (p,q)\in R, \text{ if } p \stackrel\alpha\rightarrow p' \text{ then } \exists q', \; q \stackrel\alpha\rightarrow q' \text{ and } (p',q')\in R.$$

Si dice che un LTS simuli un altro se esiste una relazione di simulazione tra loro.

Analogamente, una relazione è una bisimulazione iff ∀ ( p , q ) ∈ R ,  se  p α → p ′  quindi  ∃ q ′$R \subseteq S \times S$$\forall (p,q)\in R,$

$$\begin{array}{l} \text{ if } p \stackrel\alpha\rightarrow p' \text{ then } \exists q', \; q \stackrel\alpha\rightarrow q' \text{ and } (p',q')\in R \text{ and } \\ \text{ if } q \stackrel\alpha\rightarrow q' \text{ then } \exists p', \; p \stackrel\alpha\rightarrow p' \text{ and } (p',q')\in R. \end{array}$$

Si dice che due LTS siano bisimili se esiste una bisimulazione tra i loro spazi di stato.

Chiaramente queste due nozioni sono abbastanza correlate, ma non sono le stesse.

In quali condizioni un LTS simula un altro e viceversa, ma i due LTS non sono bisimili?

Poiché un processo CCS vale mille pixel - ed è facile vedere l'LTS sottostante - ecco due processi che si simulano a vicenda ma non sono bisimili:

Q = a

$$P = ab + a$$ $$Q = ab$$

è una simulazione.$\mathcal{R_1}=\{(ab+a, ab), (b, b), (0,b), (0, 0)\}$

è una simulazione.$\mathcal{R_2}=\{(ab, ab+a), (b, b), (0,0)\}$

e Q R 2 P ma P e Q non sono bisimili. Perchè no? Perché P a → 0 e l'unico$P\ \mathcal R_1\ Q$$Q\ \mathcal R_2\ P$$P$$Q$$P\stackrel{a}→0$ tale che Q a → Q ′ è b ... e 0 non è bisimile a b .$Q'$$Q\stackrel{a}→Q'$$b$$0$$b$

Perché allora possono simularsi a vicenda? Perché simula Q poiché può fare tutto ciò che Q fa. E Q simula P perché anche se P può andare in uno$P$$Q$$Q$$Q$$P$$P$ -step a un programma che non fa nulla, Q può ancora farlo un -Passo, e questo è tutto quello che serve per simulare qualcosa. La differenza fondamentale con la bisimulazione è in realtà che, come ha detto Charles, è necessario mettere in relazione gli stessi processi con entrambe le simulazioni. (cioè R tale che sia R che R - 1 sono simulazioni)$a$$Q$$a$$\mathcal R$$\mathcal R$$\mathcal R^{-1}$

Anche se esiste una simulazione in ciascuna direzione, le simulazioni avanti e indietro potrebbero non mettere in relazione gli stessi insiemi di stati. A volte hai una simulazione in una direzione e una simulazione $R_1$ nell'altra direzione, e due stati p 1 e q che sono correlati da R 1 ma non da R 2 né da qualsiasi altra simulazione nella stessa direzione.$R_2$$p_1$$q$$R_1$$R_2$

L'esempio canonico sono due sistemi che hanno le stesse tracce, ma che fanno scelte in modo diverso. Considera due distributori automatici di bevande: il primo (il malvagio) prende una moneta ( c) e decide in modo non deterministico se consegnare una tazza di tè ( t). La seconda macchina (quella buona) prende una moneta ( c) e offre una tazza di tè ( t).

$R_1 = \{(s,s'), (p,p'), (q,q'), (r,p')\}$$r$$r$$p$

$R_2 = \{(s',s),(p',p),(q',q)\}$$r$$r$$s'$$2$$s$$p'$$s'$$c$$p$$r$$1$$p$$q'$$q$$r$

$r$$r$

La differenza tra le due macchine è che la macchina buona è deterministica e (assumendo vivacità) eroga sempre il tè se si inserisce una moneta, mentre la macchina malvagia può per un capriccio prendere la moneta ma rimanere bloccata, incapace di erogare il tè.

Questo tipo di differenza emerge spesso nello studio dei sistemi concorrenti. La risposta di jmad mostra un processo CCS con questo LTS.

Per maggiori informazioni sulle bisimulazioni, raccomando le note di Davide Sangiorgi sulle origini della bisimulazione e della coinduzione . (Questo è l'esercizio 1 p. 29 e le note usano lo stesso esempio.)

$LTS_1$$LTS_2$$R$$LTS_2$$LTS_1$$R$$R$

$LTS_1$$LTS_2$$R$$LTS_2$$LTS_1$$R$