Quanto dura la ricorsione di Collatz?

Ho il seguente codice Python.

def collatz(n):
    if n <= 1:
        return True
    elif (n%2==0):
        return collatz(n/2)
    else:
        return collatz(3*n+1)

Qual è il tempo di esecuzione di questo algoritmo?

Provare:

Se $T(n)$ indica il tempo di esecuzione della funzione collatz(n). Quindi penso di avere

Penso che sarà lg n se$T(n)$$\lg n$ è pari ma come calcolare la ricorrenza in generale?$n$

Questa è congettura di Collatz - problema ancora aperto.
La congettura riguarda la prova che questa sequenza si interrompe per qualsiasi input, poiché non è stata risolta, non sappiamo come risolvere questa relazione di ricorrenza del runtime, inoltre potrebbe non arrestarsi affatto - quindi fino a prova, il tempo di esecuzione è sconosciuto e potrebbe essere .$\infty$

Hai tradotto correttamente il codice . Esistono molti metodi per risolvere le ricorrenze .

Tuttavia, al momento non è noto se si collatzferma per tutti n; l'affermazione che lo fa è nota come congettura di Collatz . Pertanto, nessun metodo noto funzionerà su questa ricorrenza.

Penso che sarà lg n se n è pari$T(n)$$\lg n$$n$

Come mai? Immagino che stai pensando a , per cui la tua affermazione è corretta. Questo dimostra che questa ricorrenza non è una di quelle che possiamo risolvere fino a Θ indagando in modo esponenziale su alcuni punti (vedi anche qui ).$n=2^k$$\Theta$

La funzione di complessità temporale è

che può essere riscritto come segue se si è interessati alla complessità temporale asintotica.

$\langle M,1^n\rangle \in Halt$$n$$n$

La congettura di Collatz è una congettura molto famosa proposta da Collatz nel 1937. Molti eminenti matematici hanno speso (letto sprecato) innumerevoli ore nel tentativo di risolvere questa congettura, ma con scarso profitto. Perfino Paul Erdős ha detto della congettura di Collatz: "La matematica non è ancora pronta per tali problemi".

Aggiungerei alle altre risposte il fatto che il terzo ramo della funzione è il caso di $n$ è $odd$ suggerisce che in tal caso la funzione verrà calcolata su un'istanza più grande ($n$ è inferiore a $3n+1$). Quindi c'è più lavoro da fare su quel ramo di calcolo.

Altre relazioni di ricorrenza che incontriamo (ad esempio nel caso di tipo di unione $T(n) = 2T(n/2) +n$) aderire alla divisione di un problema in sottoproblemi per istanze con dimensioni inferiori. Tali recidive degenerano naturalmente in casi di base, vale a dire$T(0)$ o $T(1)$che sono noti. Pertanto, è possibile utilizzare strumenti matematici standard per l'analisi della ricorrenza, come il teorema principale .

In the case of collatz function we are not able to infer directly from the reccurence that the case of $3n+1$ will eventually deteriorate using standard mathematical tools of reccurences. This is a topic to be resolved by looking at the problem itself, not the reccurence that describes it.

You have T (n) = T (n/2) + 1 if n is even. But then n/2 is quite likely not even, so you are stuck there.

What happens is that the nice little rules that you learned are confronted with a real problem, and they don't work. They hit a brick wall, face first, and it hurts. Do yourself a favour, and follow the recursion for T (7) manually, and then you tells if you still believe this is related lg n.

If you think this isn't related to the original question because 7 is not even: Whenever n is odd, T (n) = T (3n + 1), and 3n + 1 is even, so if T (n) were log n if n is even, it would be log (3n + 1) + 1 whenever n > 1 is odd.