Teoria del tipo intuizionista "minima"?

Sono sorpreso che le persone continuino ad aggiungere nuovi tipi nelle teorie dei tipi, ma nessuno sembra menzionare una teoria minima (o non riesco a trovarla). Pensavo che i mathatician amassero le cose minime, vero?

Se ho capito bene, in una teoria dei tipi con un impredicativo Prop, λ-astrazione e Π-tipi sono sufficienti. Dicendo il suffisso intendo che potrebbe essere usato come logica intuizionista. Altri tipi possono essere definiti come segue:

$$\bot \stackrel{def}{=} \Pi \alpha: Prop. \alpha \\ \neg A \stackrel{def}{=} A \to \bot \\ A \land B \stackrel{def}{=} \Pi C: Prop. (A \to B \to C) \to C \\ A \lor B \stackrel{def}{=} \Pi C: Prop. (A \to C) \to (B \to C) \to C \\ \exists_{x: S}(P(x)) \stackrel{def}{=} \Pi \alpha: Prop. (\Pi x: S. P x \to \alpha) \to \alpha \\ $$

La mia prima domanda è: sono ( λ, Π) davvero sufficienti? La mia seconda domanda è: di cosa abbiamo bisogno minimamente se non abbiamo un impredicativo Prop, come in MLTT? In MLTT, Church / Scott / qualunque codifica non funzioni.

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Per approfondire i chiarimenti di Gallais, una teoria dei tipi con Prop impredicativo e tipi dipendenti può essere vista come un sottosistema del calcolo delle costruzioni, in genere vicino alla teoria dei tipi di Church . La relazione tra la teoria dei tipi di Church e il CoC non è così semplice, ma è stata esplorata, in particolare dall'eccellente articolo di Geuvers .

Per la maggior parte degli scopi, tuttavia, i sistemi possono essere visti come equivalenti. Quindi, in effetti, puoi cavartela con pochissimo, in particolare se non sei interessato alla logica classica, quindi l'unica cosa di cui hai veramente bisogno è un assioma dell'infinito : non è dimostrabile nel CoC che qualsiasi tipo abbia più di 1 elemento! Ma con solo un assioma che esprime che un tipo è infinito, diciamo un tipo di numeri naturali con il principio di induzione e l'assioma , puoi arrivare abbastanza lontano: la maggior parte della matematica universitaria può essere formalizzata in questo sistema (in un certo senso, è difficile fare alcune cose senza il centro escluso).$0\neq 1$

Senza Prop impredicativo, hai bisogno di un po 'più di lavoro. Come notato nei commenti, un sistema estensionale (un sistema con estendibilità funzionale nella relazione di uguaglianza) può cavarsela con solo e -types, , i tipi vuoto e unitario e , e tipi W. Nell'ambito dell'intensionale ciò non è possibile: sono necessari molti più induttivi. Si noti che per creare utili tipi W, è necessario essere in grado di creare tipi eliminando oltre modo:$\Sigma$$\Pi$$\mathrm{Bool}$$\bot$$\top$$\mathrm{Bool}$

$$\mathrm{if}\ b\ \mathrm{then}\ \top\ \mathrm{else}\ \bot$$

Per fare meta-matematica probabilmente avrai bisogno di almeno un universo (diciamo, per costruire un modello di Heyting Arithmetic).

Tutto questo sembra molto, ed è allettante cercare un sistema più semplice che non abbia la folle impredicatività del CoC, ma è ancora relativamente facile da scrivere in poche regole. Una recente tentativo di farlo è il sistema descritto da Altenkirch et al . Non è del tutto soddisfacente, poiché il controllo di positività richiesto per coerenza non fa parte del sistema "così com'è". Anche la meta-teoria deve ancora essere perfezionata.$\Pi\Sigma$

Una panoramica utile è l'articolo ZF è un hack? di Freek Wiedijk, che in realtà confronta i numeri reali su tutti questi sistemi (numero di regole e assiomi).

Il problema con le codifiche della Chiesa è che non puoi ottenere principi di induzione per i tuoi tipi, il che significa che sono praticamente inutili quando si tratta di dimostrare dichiarazioni su di loro.

In termini di minimalità del sistema, un percorso menzionato nei commenti è quello di utilizzare contenitori e tipi (W / M), tuttavia sono piuttosto estensivi, quindi non è molto conveniente lavorare con sistemi come Coq o Agda.

Un approccio più trattabile consiste nell'utilizzare un funzione polinomiale definita come estensione di una descrizione piuttosto che come quella di un contenitore. La teoria dell'ospite deve essere chiusa solo sotto i punti fissi , e e (e uguaglianza per i polinomi indicizzati). Ottieni la stessa potenza espressiva di un tipo (W / M) senza inconvenienti: si può effettivamente dimostrare un principio di induzione senza bisogno di estensioni funzionali.$\Pi$$\Sigma$$\mu$$\nu$

$\mu$$\nu$