Riempi i contenitori con coppie di palline

Un cestino viene chiamato pieno se contiene almeno palline. Il nostro obiettivo è riempire il maggior numero possibile di contenitori. $k$

Nello scenario più semplice, ci vengono date palline e possiamo sistemarle arbitrariamente. In quel caso, ovviamente, il meglio che possiamo fare è raccogliere arbitrariamente i bidoni del e mettere palle in ognuno di essi. $n$ $\lfloor n/k \rfloor$ $k$

Sono interessato al seguente scenario: ci vengono date coppie di palline. Dobbiamo mettere le due palle di ogni coppia in due diversi contenitori. Quindi, arriva un avversario e rimuove una palla da ogni coppia. Cosa possiamo fare per avere il numero massimo possibile di contenitori completi dopo la rimozione? $n$

Una strategia semplice è: pick coppie di bin. Riempi ogni bin bin con coppie di palline (ogni bidone contiene palline, una pallina per ogni coppia). Quindi, indipendentemente da ciò che il nostro avversario rimuove, abbiamo in ogni bin bin almeno un bidone completo. $\lfloor n/(2k-1) \rfloor$ $2k-1$ $2k-1$

Abbiamo una strategia che raggiunge un numero maggiore di bin completi (più di )? $\lfloor n/(2k-1) \rfloor$

combinatorics balls-and-bins

— Erel Segal-Halevi
fonte

Non ci credo

— Zach Saucier,

n

$n$ è dato e è dato? dipende da ?

k

$k$

k

$k$

n

$n$

— Evil

@EvilJS e sono indicati e sono indipendenti.

n

$n$

k

$k$

— Erel Segal-Halevi,

Il giocatore piazza tutte le sue coppie di palle e poi l'avversario sceglie palle? Oppure il giocatore piazza una coppia di palle e l'avversario ne sceglie una da quella coppia e quindi il giocatore mette la coppia successiva e l'avversario sceglie uno e così via fino a quando non ci sono più coppie di palline da posizionare?

n

$n$

n

$n$

— Rotia,

@rotia Il giocatore piazza tutte le sue n coppie di palline, quindi l'avversario sceglie n palline.

— Erel Segal-Halevi,

TL; DR - No, non esiste una strategia migliore della strategia semplice. Ecco l'idea principale della prova. Quando non ci sono abbastanza palle, ci sarà un "percorso palla" da un contenitore -full a un contenitore con al massimo palle. L'avversario può passare una palla da quel bidone pieno a quel bidone meno lungo lungo quel percorso, che può essere fatto ripetutamente fino a quando il numero di bin -full è ridotto. $k$ $k-2$ $k$

Riformulazione nella teoria dei grafi

Supponiamo di avere un semplice grafico finito con una funzione . Diciamo che ci sono palline nel bordo . Consenti a essere il (bordo contrassegnato dalla fine) set . Se soddisfa per ogni fronte , diciamo che sta distribuendo . Qualsiasi funzione di distribuzione induce una funzione, che usiamo lo stesso simbolo, , . Lo diciamo $G(V,E)$ $w: E\to\Bbb Z_{\ge 0}$ $w(e)$ $e$ $E_2$ $\{(e,v)| e\in E, v\in e\}$ $d:E_2\to\Bbb Z_{\ge 0}$ $w(e)=d(e,v_1) + d(e,v_2)$ $e=\{v_1,v_2\}$ $d$ $w$ $w$ $d$ $d:V\to\Bbb Z_{\ge 0}$ $d(v) =\sum_{v\in e}d(e,v)$ $d(v)$ palle sono in . Dato , lascia che , il numero di -full vertici di . $v$ $k\in\Bbb Z_{\gt0}$ $F_k(d)=\#\{v\in V|d(v)\ge k\}$ $k$ $d$

(Erel-Apass Teorema) Per ogni semplice grafo finito e , abbiamo $G(V,E)$ $w:E\to\Bbb Z_{\ge0}$ $\sum_{e\in E}w(e)\geq (2k-1) \min_{w\text{-distributing }d}F_k(d)$

Immagina che ogni vertice sia un cestino. Per ogni bordo , le coppie di palle vengono inserite in e , ognuna delle quali ottiene palle. Tra queste coppie di palle , l'avversario può togliere palle da e palle da . Il risultato finale è lo stesso di se, dati tutti i contenitori vuoti inizialmente, per ogni bordo , palle vi vengono inserite e, quindi, e sfere sono distribuite su e $e=\{v_1,v_2\}$ $w(e)$ $v_1$ $v_2$ $w(e)$ $w(e)$ $d(e,v_2)$ $v_1$ $d(e,v_1)$ $v_2$ $e=\{v_1, v_2\}$ $w(e)$ $d(e,v_1)$ $d(e,v_2)$ $v_1$ $v_2$ rispettivamente dall'avversario. Quindi, il teorema di Erel-Apass afferma che per garantire contenitori pieni di k dopo la rimozione di un avversario intelligente, sono necessarie almeno coppie di palline. $t$ $(2k-1)t$ In altre parole, una strategia ottimale per avere il numero massimo possibile di contenitori completi è effettivamente la "strategia semplice", che riempie ripetutamente una coppia diversa di contenitori con coppie di sfere fino a quando non abbiamo abbastanza palle da ripetere. $2k-1$

Prova del teorema

Per motivi di contraddizione, lasciate e essere un controesempio cui numero di vertici è il più piccolo tra tutti controesempi. Cioè, c'è -distributing tale che è minimo tra tutti della funzione -distributing . Inoltre, $G(V,E)$ $w$ $w$ $m$ $F_k(m)$ $F_k(d)$ $w$ $d$

\sum_{e \in E} w (e) < (2 k - 1) F_{k} (m)

$\sum_{e\in E}w(e)\lt (2k-1)F_k(m)$

Lascia . Lascia . Quindi . $V_s=\{v\in V | m(v)\le k-2\}$ $V_\ell=\{v\in V|m(v)\geq k\}$ $F_k(m)=\#V_\ell$

Reclama uno: . $V_s\neq\emptyset$ Prova della rivendicazione uno. Supponiamo che sia vuoto. Riutilizziamo anche come funzione da a tale che per qualsiasi .
$V_s$

\sum_{v \in V} m (v) = (k - 1) # V + \sum_{v \in V} (m (v) - (k - 1)) \geq (k - 1) # V + # V_{ℓ} > (k - 1) # V

$\sum_{v\in V}m(v)= (k-1)\#V +\sum_{v\in V}(m(v)-(k-1)) \ge (k-1)\#V + \#V_\ell \gt (k-1)\#V$

w

$w$

V

$V$

Z_{\geq 0}

$\Bbb Z_{\ge 0}$

w (v) = \sum_{v \in e} w (e)

$w(v)=\sum_{v\in e}w(e)$

v \in V

$v\in V$

\begin{aligned} \sum_{v \in V} w (v) & = \sum_{v \in V} \sum_{v \in e} w (e) = \sum_{e \in E} \sum_{v \in e} w (e) = \sum_{e \in E} 2 w (e) = 2 \sum_{e \in E} w (e) \\ = 2 \sum_{e \in E} \sum_{v \in e} m (e, v) = 2 \sum_{v \in V} \sum_{v \in e} m (e, v) = 2 \sum_{v \in V} m (v) \\ > 2 (k - 1) # V \end{aligned}

$\begin{align} \sum_{v\in V}w(v) &=\sum_{v\in V}\sum_{v\in e }w(e) =\sum_{e\in E }\sum_{v\in e}w(e) =\sum_{e\in E}2w(e) =2\sum_{e\in E}w(e)\\ &=2\sum_{e\in E }\sum_{v\in e}m(e,v) =2\sum_{v\in V}\sum_{v\in e }m(e,v) =2\sum_{v\in V}m(v)\\ &\gt 2(k-1)\#V \end{align}$ Quindi deve esserci un vertice tale che .

b

$b$

w (b) \geq 2 k - 1

$w(b)\ge 2k-1$

Considera l'impostazione indotta e , dove , è il grafico indotto e dove . Per ogni -distributing funzione , siamo in grado di estenderlo a un -distributing funzione dove è lo stesso sul mentre per ogni fronte adiacente a . Nota che allora $G'(V', E')$ $w'$ $V'=V\setminus\{b\}$ $G'(V', E')$ $G[V']$ $w'=w|_{E'}$ $w'$ $d'$ $w$ $d_{d'}$ $d_{d'}$ $d'$ $E'$ $d_{d'}(e, b)=w(e)$ $e$ $b$ $F_k(d_{d'})= F_k(d') + 1$ $d_{d'}(b)=\sum_{b\in e}d_{d'}(e,b) = \sum_{b\in e}w(e)=w(b)\ge 2k-1\ge k$ . Quindi Quindi, e è un contro cui numero di vertici è inferiore al numero di vertici di . Questo non può essere vero dal nostro presupposto di e . Quindi rivendicare uno è dimostrato.

\begin{aligned} \sum_{e \in E^{'}} w^{'} (e) & \leq \sum_{e \in E} w (e) - w (b) \\ < (2 k - 1) F_{k} (m) - (2 k - 1) \\ = (2 k - 1) (min_{w -distributing d} F_{k} (d) - 1) \\ \leq (2 k - 1) (min_{w^{'} -distributing d^{'}} F_{k} (d_{d^{'}}) - 1) \\ \leq (2 k - 1) min_{w^{'} -distributing d^{'}} F_{k} (d^{'}) \end{aligned}

$\begin{align}\sum_{e\in E'}w'(e)&\le\sum_{e\in E}w(e) - w(b)\\ &\lt (2k-1)F_k(m) -(2k-1)\\ &=(2k-1) \left(\min_{w\text{-distributing }d}F_k(d) -1\right)\\ &\le (2k-1) \left(\min_{w'\text{-distributing }d'}F_k(d_{d'})-1\right)\\ &\le (2k-1) \min_{w'\text{-distributing }d'}F_k(d') \end{align}$

G^{'} (V^{'}, E^{'})

$G'(V', E')$

w^{'}

$w'$

G

$G$

G (V, E)

$G(V,E)$

w

$w$

Per ogni vertice , definire raggiungibile dal vertice se esiste un percorso , tale che . Consenti a . $v$ $v$ $d$ $u$ $u_0= u, u_1, u_2, \cdots, u_m, u_{m+1}=v$ $m\ge0$ $d(\{u_i, u_{i+1}\}, u_i)>0$ $V_r=V_\ell\cup \{v\in V|\exists u\in V_\ell \text{ and } v\text{ is } m\text{-reachable from } u \}$

Rivendicazione due: $V_r = V$
Prova rivendicazione due: Supponiamo . Per qualsiasi vertice e , dal momento che non possiamo raggiungere da , se è un vantaggio, quindi Si consideri la configurazione indotta e , dove , è il grafico indotto e dove . Per qualsiasi funzione -distributing , $V_r\neq V$ $v\in V_r$ $u\notin V_r$ $u$ $v$ $\{v, u\}$ $w(\{v, u\}, v) = 0.$ $G'(V', E')$ $w'$ $v'=V_r$ $G'(V', E')$ $G[V']$ $w'=w|_{E'}$ $w'$ $d'$ $w$ $d_{d'}$ dove è uguale a su e uguale a su altri bordi. Si noti che poiché tutti i vertici con non meno di sfere all'interno sono in . Quindi Quindi, e $d_{d'}$ $d'$ $E'$ $m$ $F_k(d_{d'})= F_k(d')$ $k$ $V_\ell\subset V_r$

\begin{aligned} \sum_{e \in E^{'}} w^{'} (e) & \leq \sum_{e \in E} w (e) \\ < (2 k - 1) F_{k} (m) \\ = (2 k - 1) min_{w -distributing d} F_{k} (d) \\ \leq (2 k - 1) min_{w^{'} -distributing d^{'}} F_{k} (d_{d^{'}}) \\ \leq (2 k - 1) min_{w^{'} -distributing d^{'}} F_{k} (d^{'}) \end{aligned}

$\begin{align}\sum_{e\in E'}w'(e)&\le\sum_{e\in E}w(e)\\ &\lt (2k-1)F_k(m)\\ &=(2k-1) \min_{w\text{-distributing }d}F_k(d)\\ &\le (2k-1) \min_{w'\text{-distributing }d'}F_k(d_{d'})\\ &\le (2k-1) \min_{w'\text{-distributing }d'}F_k(d') \end{align}$

G^{'} (V^{'}, E^{'})

$G'(V', E')$

w^{'}

$w'$

G

$G$ . Questo non può essere vero dal nostro presupposto su e . Quindi la seconda richiesta è dimostrata.

G (V, E)

$G(V,E)$

w

$w$

Ora proviamo il teorema.

Poiché e , esiste un percorso , con , e . Costruiamo una nuova funzione -distributing da modo che $V_r=V$ $V_s\neq\emptyset$ $u_0= u, u_1, u_2, \cdots, u_m, u_{m+1}=v$ $m\ge0$ $m(u)\gt k$ $m(v)\leq k-2$ $d(\{u_i, u_{i+1}\}, u_i)>0$ $w$ $r(m)$ $m$

r (m) (e, u) = {\begin{cases} m ({u_{i}, u_{i + 1}}, u_{i}) - 1 & if (e, u) = ({u_{i}, u_{i + 1}}, u_{i}) for some 0 \leq i \leq m \\ m ({u_{i}, u_{i + 1}}, u_{i + 1}) + 1 & if (e, u) = ({u_{i}, u_{i + 1}}, u_{i + 1}) for some 0 \leq i \leq m \\ m (e, u) & otherwise \end{cases}

$r(m)(e, u)= \begin{cases} m(\{u_i, u_{i+1}\}, u_i) -1 & \text{ if } (e,u)=(\{u_i, u_{i+1}\},u_i)\text { for some } 0\le i\le m\\ m(\{u_i, u_{i+1}\}, u_{i+1}) +1 & \text{ if } (e,u)=(\{u_i, u_{i+1}\},u_{i+1})\text { for some } 0\le i\le m\\ m(e,u) &\text{ otherwise } \end{cases}$

$m$ e accordo su tutti i vertici tranne e , e . Possiamo applicare questa procedura su per ottenere . Ripetendo questo tempo per alcuni abbastanza grandi , otterremo una funzione di distribuzione con . Tuttavia, abbiamo supposto che è il minimo tra di -distributing funzione $r(m)$ $v$ $u$ $m(v)\lt r(m)(v)\le k-1$ $r(m)(u)\lt m(u)$ $r(m)$ $r^2(m)$ $i$ $i$ $w$ $r^i(m)$ $F_k(r^i(m))=0$ $F_k(m)>0$ $F(d)$ $w$ $d$ . Questa contraddizione mostra che abbiamo dimostrato il teorema di Erel-Apass.

— John L.
fonte

Ho letto la prova, sembra buono. In effetti, se capisco correttamente, è ancora più generale poiché consente un grafico arbitrario: la mia domanda è un caso speciale in cui G è il grafico completo. È corretto? Un'altra domanda: dove esattamente la dimostrazione usa il fatto che m è tale che Fk (m) è minimo? Vedo che è usato solo nell'ultimo paragrafo - le affermazioni precedenti nella dimostrazione sono vere senza questo fatto?

— Erel Segal-Halevi,

Sì, il teorema è corretto per qualsiasi grafico poiché dice "per qualsiasi grafico (semplice finito) G (V, E)". La minimalità di è necessaria per ogni reclamo. Se cerchi "controesempio", troverai dove viene utilizzata la minimalità.

F_{k} (m)

$F_k(m)$

— John L.