Qual è la complessità di una ricerca tra parentesi che utilizza mediant?

Sto cercando di stimare la complessità di un algoritmo che ho scritto per il decompilatore Reko , in cui sto cercando di "annullare" la trasformazione eseguita da un compilatore in una divisione intera di una costante . Il compilatore ha convertito la divisione in una moltiplicazione intera e uno spostamento: , dove è il numero di bit della parola macchina del computer. La moltiplicazione costante risultante è molto più veloce di una divisione nella maggior parte delle architetture contemporanee, ma non assomiglia più al codice originale.$x / n$$(x * \lfloor 2^\beta / n \rfloor) >> \beta$$\beta$

Per illustrare: la dichiarazione C.

y = x / 10;

verrà compilato dal compilatore Microsoft Visual C ++ nel seguente linguaggio assembly

mov edx,1999999Ah  ; load 1/10 * 2^32 
imul eax           ; edx:eax = dividend / 10 * 2 ^32 
mov eax,edx        ; eax = dividend / 10

Il risultato netto è che il registro eaxavrà ora il valore atteso ydal codice sorgente.

Un ingenuo decompilatore decompilerà quanto sopra

eax = ((long)eax * 0x1999999A) >> 32;

ma Reko mira a rendere l'output risultante più leggibile di quello recuperando la costante utilizzata nella divisione originale.

L'algoritmo accennato sopra si basa sulla descrizione di questo articolo su Wikipedia . Innanzitutto, l'algoritmo considera il moltiplicatore costante come il reciproco ridimensionato . Lo converte in un numero a virgola mobile e quindi lo ridimensiona di in , dove . Il passaggio finale, costoso, è di racchiudere il valore in virgola mobile tra due numeri razionali , (a partire da 0/1 e 1/1) e calcolare ripetutamente il mediante$2^\beta / n$$2^\beta r_f$$2^\beta$$r_f$$0.0 < r_f <1.0$$r_f$$a/b$$c/d$ $(a + c)/(b + d)$fino a quando non viene raggiunto un criterio di convergenza. Il risultato dovrebbe essere il "migliore" approssimazione razionale al reciproco .$r$$r_f$

Ora, se il bracketing veniva eseguito con una tipica ricerca binaria che iniziava tra le razionali e e calcolava il punto medio , Mi aspetto che l'algoritmo converga in passaggi . Ma qual è la complessità dell'algoritmo se si utilizza invece la mediant?$0/2^\beta$$2^\beta/2^\beta$ $(a/b + c/d)/2$$O(\beta)$

La relazione tra l'albero Stern – Brocot e le sequenze Farey mostra che if $0 < p/q < 1$ e $(p,q) = 1$ (Cioè, $p/q$ è una frazione ridotta) quindi $p/q$ è al $q$th livello dell'albero. Poiché il termine corrente dell'algoritmo è lineare al livello in cui si termina, l'algoritmo richiede tempo$O(q)$, dove $p/q$è la risposta; ma questo non è così utile.

Non hai specificato quale sia il tuo criterio di arresto, ma presumibilmente hai qualche soglia di errore $\epsilon$. La domanda quindi è per quale sequenza di Farey è il caso che i termini adiacenti siano al massimo a distanza$2\epsilon$ (e quindi ogni punto è a distanza $\epsilon$da qualche punto). Utilizzando il fatto che la distanza tra le frazioni adiacenti$p_1/q_1,p_2/q_2$ in una sequenza Farey è $1/(q_1q_2)$, non è difficile dimostrare che la distanza massima al $q$la sequenza Farey è $1/q$. Pertanto se stai mirando a una distanza di$\epsilon$, quindi il tuo algoritmo verrà eseguito in tempo $O(1/\epsilon)$ Nel peggiore dei casi.

Tuttavia, la maggior parte delle frazioni adiacenti al $q$la sequenza Farey è a distanza $O(1/q^2)$, e quindi in media probabilmente ti aspetteresti un tempo di esecuzione di $O(\sqrt{1/\epsilon})$ (sfortunatamente, questa media è rispetto all'input piuttosto che all'algoritmo).