È possibile creare DFA per parole di lunghezza dispari con 1 al centro?

$L := \{w \in \{0,1\}^* |$la lunghezza di $w$ è strano $\wedge$ 1 è nel mezzo di $w\}$

Quindi l'alfabeto è $\{0,1\}^*$. Il mio problema è che non riesco a tenere traccia dell'uguaglianza dei caratteri prima e dopo$1$. Un DFA limitato per la lunghezza inferiore a 6:

Come posso espanderlo in modo che accetti qualsiasi parola di lunghezza? È possibile?

Ho provato a inserirci dei cicli, ma come ho già detto, non posso più tenere traccia del numero di caratteri dopo $1$essere uguale a quello prima. In altre parole 1 per essere sempre nel mezzo.

No, non puoi. Prova di Pumping Lemma: Assume$L$ è regolare e $n$ essere la lunghezza di pompaggio considerare la parola $w=0^n10^n$. Quindi ci sono$x,y,z \in \{0,1\}^*$ con $|xy|<n$ e $|y| > 0$ come $xyz=w$. Poi$\forall i\in \mathbb{N}_0: xy^iz \in L$.

Ma a causa del suo vincolo di lunghezza$x$ e $y$ consiste in $0$ solo e tutti sono prima del $1$. così$xy^2z = 0^{n+|y|}10^n \notin L$.

Così, $L$ non è regolare e non può essere espresso da alcun DFA.