Comprimere due numeri interi ignorando l'ordine

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Confrontando una coppia ordinata (x, y) con una coppia non ordinata {x, y} (set), quindi le informazioni teoricamente, la differenza è solo un bit, come se x viene prima o y richiede esattamente un singolo bit per rappresentare.

Quindi, se ci viene dato un set {x, y} in cui x, y sono due diversi numeri interi a 32 bit, possiamo comprimerli in 63 bit (piuttosto 64)? Dovrebbe essere possibile ripristinare gli interi originali a 32 bit dal risultato a 63 bit, ma senza poter recuperare il loro ordine.

information-theory data-compression

— Troy McClure
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Sì, uno può. Se $x<y$ , associa il set $\{x,y\}$ al numero

f (x, y) = y (y - 1) / 2 + x .

$f(x,y) = y(y-1)/2 + x.$

È facile dimostrare che $f$ è biiettivo e quindi può essere decodificato in modo univoco. Inoltre, quando $0 \le x < y < 2^{32}$ , abbiamo $0 \le f(x,y) < 2^{63} - 2^{31}$ , quindi questo mappa l'insieme $\{x,y\}$ su un numero a 63 bit $f(x,y)$ . Per decodificare, puoi usare la ricerca binaria su $y$ o prendere una radice quadrata: $y$ dovrebbe essere approssimativamente . $\lfloor \sqrt{2 f(x,y)} \rfloor$

— DW
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proprio come 1 + 2 + 3 + ... + y + x bello!

— Troy McClure,

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qualsiasi generalizzazione in n non ordinati? :) ripensandoci, molti quadform con derivati parziali abbastanza grandi faranno il loro lavoro

— Troy McClure,

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Un'altra risposta che può essere interessante per il suo basso costo di calcolo: se xe ysono diversi, allora uno x-y-1o y-x-1entrambi (entrambi mod

, ovviamente) si inserisce in 31 bit. Se è piccolo, concatenare e gli ultimi 31 bit di ; altrimenti concatenare e gli ultimi 31 bit di . Recupera i due numeri prendendo i primi 32 bit come un numero e aggiungendo i primi 32 bit, gli ultimi 31 bit e la costante 1 (mod

) come l'altro.

2^{32}

$2^{32}$ x-y-1yx-y-1xy-x-1

2^{32}

$2^{32}$

— Daniel Wagner,

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il tuo metodo si generalizza anche bene aggiungendo più numeri, poiché il primo numero è "proprio lì", quindi può incatenarsi

— Troy McClure,

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@DW: Potresti aggiungere anche come hai realizzato questa rappresentazione? Altrimenti sembra che tu l'abbia tirato fuori dal nulla.

— Mehrdad,

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In aggiunta alla risposta di DW, nota che questo è un caso particolare del Combinatorial Number System , che mappa in modo compatto una sequenza strettamente decrescente di numeri interi non negativi a $k$ $c_k > \cdots > c_1$

N = \sum_{i = 1}^{k} (\binom{c_{i}}{i}) .

$N = \sum_{i=1}^k \binom{c_i}{i}.$

Questo numero ha una semplice interpretazione. Se ordiniamo queste sequenze lessicograficamente, allora conta il numero di sequenze più piccole. $N$

Per decodificare, basta assegnare a il valore più grande tale che $c_k$ e decodifica $\binom{c_k}{k} \leq N$ come conseguenza. $N - \binom{c_k}{k}$ $(k-1)$

— Filipos
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Il numero totale di coppie di numeri non ordinate in un set di è . Il numero totale di coppie non ordinate di numeri distinti è . Richiede $N$ $N(N+1)/2$ $N(N-1)/2$ bit per rappresentare una coppia ordinata di numeri, e se si ha uno meno bit, si può rappresentare elementi di uno spazio di fino a $2 \log_2(N) = \log_2(N^2)$ $N^2/2$ . Il numero di coppie non ordinate non necessariamente distinte è leggermente più della metà del numero di coppie ordinate, quindi non è possibile salvare un po 'nella rappresentazione; il numero di coppie distinte non ordinate è leggermente inferiore alla metà, quindi puoi risparmiare un po '.

Per uno schema pratico che è facile da calcolare, con è una potenza di 2, puoi lavorare sulla rappresentazione bit a bit. Prendi dove è l'operatore XOR (bit a bit esclusivo o). La coppia può essere recuperata da o . Ora cercheremo un trucco per risparmiare un po 'nella seconda parte, e dare un ruolo simmetrica per e $N$ $a = x \oplus y$ $\oplus$ $\{x,y\}$ $(a, x)$ $(a, y)$ $x$ $y$ in modo che l'ordine non possa essere recuperato. Dato il calcolo della cardinalità sopra, sappiamo che questo schema non funzionerà nel caso in cui . $x=y$

Se allora c'è qualche posizione in cui differiscono. Scriverò per l' esimo bit di (cioè ), e allo stesso modo per . Lasciare prendere la posizione più piccolo pezzo in cui ed differiscono: è il più piccolo tale che . è il più piccolo tale che $x \ne y$ $x_i$ $i$ $x$ $x = \sum_i x_i 2^i$ $y$ $k$ $x$ $y$ $k$ $i$ $x_i \ne y_i$ $k$ $i$ : possiamo recuperare da . Let $a_i = 1$ $k$ $a$ $b$ o o con il bit bit cancellato (ovvero oppure $x$ $y$ $k$ $b = \sum_{i<k} x_i 2^i + \sum_{i>k} x_i 2^{i-1}$ ) - per rendere simmetrica la costruzione, selezionaresee, quindi selezionaresee. Utilizzarecome rappresentazione compatta della coppia. La coppia originale può essere recuperata calcolando il bit di ordine più basso impostato in, inserendo uno 0 bit in questa posizione in(ottenendo uno dio) e prendendo il xor di quel numero con $b = \sum_{i<k} y_i 2^i + \sum_{i>k} y_i 2^{i-1}$ $x$ $x_k=0$ $y_k=1$ $y$ $x_k=1$ $y_k=0$ $(a,b)$ $a$ $b$ $x$ $y$ $a$

$a$ $b$

In pseudocodice, con ^, &, |, <<, >>, ~essendo C-like operatori bit (XOR, e, o, sinistra-shift, shift destro, complemento):

encode(x, y) =
  let a = x ^ y
  let k = lowest_set_bit_position(a)
  let low_mask = (1 << k) - 1
  let z = if x & (1 << k) = 0 then x else y
  return (a, (z & low_mask) | (z & ~low_mask) >> 1)
decode(a, b) =
  let k = lowest_set_bit_position(a)
  let low_mask = (1 << k) - 1
  let x = (b & low_mask) | ((b & ~low_mask) << 1)
  return (x, a ^ x)

— Gilles 'SO- smetti di essere cattivo'
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Una prova non costruttiva: ci sono $(2^{32}\times 2^{32} - 2^{32})/2 = 2^{31}(2^{32}-1)<2^{63}$ unordered pairs of different 32-bit integers.

— Martín-Blas Pérez Pinilla
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