Risoluzione di T (n) = 2T (n / 2) + log n con il metodo dell'albero di ricorrenza

Stavo risolvendo le relazioni di ricorrenza. La prima relazione di ricorrenza era

$T(n)=2T(n/2)+n$

La soluzione di questo può essere trovata dal Teorema del Maestro o dal metodo dell'albero della ricorrenza. L'albero della ricorrenza sarebbe qualcosa del genere:

La soluzione sarebbe:

$T(n)=\underbrace{n+n+n+...+n}_{\log_2{n}=k \text{ times}}=\Theta(n \log{n})$

Successivamente ho affrontato il seguente problema:

$T(n)=2T(n/2)+\log{n}$

Il mio libro mostra che dal teorema del maestro o anche da un approccio di sostituzione, questa ricorrenza ha la soluzione . Ha la stessa struttura dell'albero sopra con la sola differenza che ad ogni chiamata esegue lavoro. Tuttavia, non sono in grado di utilizzare lo stesso approccio sopra per questo problema. $\Theta(n)$ $\log{n}$

recurrence-relation

— Anir
fonte

Il termine non ricorsivo della relazione di ricorrenza è il lavoro per unire le soluzioni dei sottoproblemi. Il livello del tuo albero di ricorrenza (binario) contiene sottoproblemi con dimensione , quindi devi prima trovare il lavoro totale sul livello e poi riassumere questo lavoro su tutto i livelli degli alberi. $k$ $2^k$ $\frac {n}{2^k}$ $k$

Ad esempio, se il lavoro è costante , il lavoro totale sul livello sarà e il tempo totale sarà dato dalla seguente somma: $C$ $k$ $2^k \cdot C$ $T(n)$

T (n) = \sum_{k = 1}^{\log_{2} n} 2^{k} C = C (2^{\log_{2} n + 1} - 2) = Θ (n)

$T(n) = \sum_{k=1}^{\log_2{n}}2^k C = C(2^{\log_2{n}+1}-2) = \Theta(n)$

Tuttavia, se il lavoro aumenta logaritmicamente con la dimensione del problema, è necessario calcolare accuratamente la soluzione. La serie sarebbe simile alla seguente:

T (n) = \log_{2} n + \underset{\log_{2} n times}{\underset{⏟}{2 \log_{2} (\frac{n}{2}) + 4 \log_{2} (\frac{n}{4}) + 8 \log_{2} (\frac{n}{8}) + . . . .}}

$T(n)=\log_2{n}+\underbrace{2\log_2(\frac {n} {2})+4\log_2(\frac {n} {4})+8\log_2(\frac {n} {8}) + ....}_{\log_2{n} \text{ times}}$

Sarà una somma abbastanza complessa:

T (n) = \log_{2} n + \sum_{k = 1}^{\log_{2} n} 2^{k} \log_{2} (\frac{n}{2^{k}})

$T(n)=\log_2{n}+\sum_{k=1}^{\log_2{n}}2^k \log_2(\frac {n} {2^k})$

Denoterò temporaneamente e semplificherò la somma sopra: $m=\log_2{n}$

\sum_{k = 1}^{m} 2^{k} \log_{2} (\frac{n}{2^{k}}) = = \sum_{k = 1}^{m} 2^{k} (\log_{2} n - k) = = \log_{2} n \sum_{k = 1}^{m} 2^{k} - \sum_{k = 1}^{m} k 2^{k} = = \log_{2} n (2^{m + 1} - 2) - (m 2^{m + 1} - 2^{m + 1} + 2)

$\sum_{k=1}^{m}2^k \log_2(\frac {n} {2^k})=\\=\sum_{k=1}^{m}2^k(\log_2{n}-k)=\\=\log_2{n}\sum_{k=1}^{m}2^k-\sum_{k=1}^{m}k2^k=\\=\log_2{n}(2^{m+1}-2)-(m2^{m+1}-2^{m+1}+2)$

Qui ho usato una formula per la somma dal calcolatore di algebra simbolica online Wolfram | Alpha . Quindi dobbiamo sostituire back con : $\sum_{k=1}^{m}k2^k$ $m$ $\log_2{n}$

T (n) = \log_{2} n + 2 n \log_{2} n - 2 \log_{2} n - 2 n \log_{2} n + 2 n - 2

$T(n)=\log_2{n}+2n\log_2{n}-2\log_2{n}-2n\log_2{n}+2n-2$

= 2 n - \log_{2} n - 2 = Θ (n)

$=2n-\log_2{n}-2=\Theta(n)$

QED

— Hekto
fonte

accidenti ho fatto uno stupido errore nel porre la domanda. Ora corretto. Tuttavia ora non sono in grado di capire come le cose si annullano a vicenda nella serie: .. Questa è la serie che vieni con giusto? Provando con , ho ottenuto . Cosa c'è che non va qui?

2^{0} \log_{2} \frac{n}{2^{0}} + 2^{1} \log_{2} \frac{n}{2^{1}} + 2^{2} \log_{2} \frac{n}{2^{2}} + . . . + 2^{\log_{2} n} \log_{2} \frac{n}{2^{\log_{2} n}} = \log_{2} n + 2 \log_{2} \frac{n}{2} + 4 \log_{2} \frac{n}{4} + . . . + n \log_{2} 1

$2^0\log_2\frac{n}{2^0}+2^1\log_2\frac{n}{2^1}+2^2\log_2\frac{n}{2^2}+...+2^{ \log_2{n}}\log_2\frac{n}{2^{ \log_2{n}}}=\log_2{n}+2\log_2{\frac{n}{2}}+4\log_2{\frac{n}{4}}+...+n\log_2{1}$

n = 8

$n=8$

\log_{2} 8 + 2 \log_{2} 4 + 4 \log_{2} 2 + 8 \log_{2} 1 = 3 + 4 + 4 = 11

$\log_2{8}+2\log_2{4}+4\log_2{2}+8\log_2{1}=3+4+4=11$

— anir

@anir - Usa l'uguaglianza

\log_{2} (\frac{n}{2^{k}}) = \log_{2} n - k

$\log_2(\frac{n}{2^k}) = \log_2 n - k$

— HEKTO

Non ho ancora

Θ (n)

$\Theta(n)$

— capito

@anir - Espanderò la mia risposta

— HEKTO,

@HEKTO Se risolvi sopra equ di commento, ottieni ancora nlog (n) ?? Ci ho provato molto. mi aiuti per favore qui?

— roottraveller,