Come dimostrare che i DFA di NFA possono avere un numero esponenziale di stati?

Tutti gli automi finiti non deterministici possono essere trasformati in automi finiti deterministici equivalenti. Tuttavia, un automa finito deterministico consente solo una singola freccia per simbolo che punta da uno stato. Pertanto, i suoi stati dovrebbero essere membri del gruppo di potere degli stati della NFA. Ciò sembra indicare che il numero di stati del DFA potrebbe scalare esponenzialmente in termini di numero di stati del NFA. Tuttavia, mi chiedevo come dimostrarlo.

Un'operazione che trasforma un NFA in un altro NFA ma non lo fa per un DFA è l'inversione (punta tutte le frecce al contrario e scambia gli stati iniziali con stati accettanti). La lingua riconosciuta dall'automa trasformato è la lingua invertita .$L^R = \{u_{n-1}\ldots u_0 \mid u_0\ldots u_{n-1} \in L\}$

Quindi un'idea è quella di cercare un linguaggio che abbia una costruzione asimmetrica. Andando avanti, questa lingua dovrebbe essere riconosciuta ispezionando i primi simboli, richiedendo solo n + O ( 1 ) stati. Andando indietro, dovrebbe essere necessario mantenere una memoria degli ultimi n stati, che richiede A n + O ( 1 ) indica dove A è la dimensione dell'alfabeto.$n$$n + O(1)$$n$$A^n + O(1)$$A$

Stiamo cercando una lingua della forma cui M n è costituito da parole di lunghezza n , S è un sottoinsieme non banale dell'alfabeto e M ′ non fornisce alcun ulteriore vincolo. Potremmo anche scegliere l'alfabeto più semplice A = { a , b } (un alfabeto singleton non lo farà, non si ottengono NFA più piccoli lì) e M ′ = A ∗ . Una S non banale significa S = { a } . Quanto a$M_n S M'$$M_n$$n$$S$$M'$$\mathscr{A} = \{a,b\}$$M' = \mathscr{A}^*$$S$$S = \{a\}$ , richiediamo che non sia correlato con S (quindi il DFA per il linguaggio invertito dovrà conservare la memoria di S ): prendere M n = A n .$M_n$$S$$S$$M_n = \mathscr{A}^n$

Quindi lascia . È riconosciuto da un semplice DFA con n + 2 stati.$L_n = (a|b)^n a (a|b)^*$$n+2$

Inversione produce un NFA che riconosce .$L_n^R = (a|b)^* a(a|b)^n$

Il DFA minimo che riconosce ha almeno 2 n + 1 stati. Questo perché tutte le parole di lunghezza 2 n + 1 devono raggiungere stati distinti nel DFA. (In altre parole, appartengono a classi distinte di equivalenza Myhill-Nerode = a e v k = b . Quindi u b k ∈ L R n e v b k ∉ L R n ( b $L_n^R$$2^{n+1}$$2^{n+1}$ .) Per dimostrarlo, prendi due parole distinte e lascia che k sia una posizione in cui differiscono ( u k ≠ v k ). Senza perdita di generalità, supponiamo u $u,v \in \mathscr{A}^{n+1}$$k$$u_k \ne v_k$$u_k = a$$v_k = b$$u b^k \in L_n^R$$v b^k \notin L_n^R$$b^k$è un'estensione distinguendosi per e v ). Se$u$$v$ e v portato allo stesso stato in DFA riconoscere L R n allora lo sarebbe u b k e v b $u$$v$$L_n^R$$u b^k$$v b^k$, il che è impossibile poiché uno porta a uno stato accettante e l'altro no.

Ringraziamento: questo esempio è stato citato in Wikipedia senza spiegazioni. L'articolo fornisce un riferimento a un articolo che non ho letto che dà un limite più stretto:
Leiss, Ernst (1981), "Rappresentazione succinta di linguaggi regolari da parte di automi booleani", Theoretical Computer Science 13 (3): 323–330, doi: 10.1016 / S0304-3975 (81) 80005-9 .

Considera la seguente famiglia di lingue: $L_n = \{ x_1, x_2, \ldots, x_k \# x_{k+1}: \exists i \in \{1, \ldots, k\} \text{ with } x_i = x_{k+1} \}$

L'alfabeto di è { # , 1 , ... , n } .$L_n$$\{\#, 1,\ldots, n \}$

Esiste un NFA con stati che riconosce la lingua L n . Ha n copie. Nella i copia supponiamo che l'ultima lettera sarà io e controlliamo le nostre ipotesi. È semplice costruire una copia del genere con 3 stati. L'unico non determinismo è nello stato iniziale.$O(n)$$L_n$$n$$i$$i$$3$

Tuttavia, non esiste un DFA che riconosca con meno di 2 O ( $L_n$$2^{O(n)}$$\{1,\ldots, n\}$

Sono abbastanza sicuro che il libro di Sipser abbia questo esempio.

$n$$n$$2^n$

Questo esempio mostra anche che gli NFA potrebbero subire un esponenziale esplodere sotto integrazione. In effetti, è noto che qualsiasi NFA (o anche grammatica senza contesto) per la lingua di tutte le parole che contengono tutti i simboli dell'alfabeto deve avere un numero esponenziale di stati.