Decidibilità di un problema riguardante i polinomi

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Mi sono imbattuto nel seguente problema interessante: siano polinomi sul campo dei numeri reali e supponiamo che i loro coefficienti siano tutti interi (ovvero, esiste una rappresentazione esatta finita di questi polinomi). Se necessario, possiamo supporre che il grado di entrambi i polinomi sia uguale. Indichiamo con (resp. ) il massimo valore assoluto di alcune radici (reali o complesse) del polinomio (resp. ). La proprietà decidibile? $p,q$ $x_p$ $x_q$ $p$ $q$ $x_p = x_q$

In caso contrario, questa proprietà vale per alcune famiglie ristrette di polinomi? Nel contesto dal quale sorge questo problema, i polinomi sono polinomi caratteristici delle matrici e le loro radici sono autovalori.

Sono a conoscenza di alcuni algoritmi numerici per il calcolo delle radici di polinomi / autovalori, tuttavia questi sembrano non essere utili qui, poiché l'output di questi algoritmi è solo approssimativo. Mi sembra che l'algebra del computer possa essere utile qui, tuttavia, sfortunatamente, non ho quasi alcuna conoscenza in questo campo.

Non sto cercando una soluzione dettagliata a questo problema, tuttavia qualsiasi intuizione e idea su dove cercare la soluzione sarebbe utile.

Grazie in anticipo.

computability undecidability computer-algebra

— 042
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Se riesci a calcolare il campo di divisione, puoi semplicemente scriverli entrambi nel modulo e confrontare; per alcuni campi il campo di divisione non è calcolabile ma non sono sicuro che questo valga per le estensioni di ?

(x - x_{0}) (x - x_{1}) \dots

$(x-x_0)(x-x_1)\dots$

Q

$\mathbb{Q}$

— Xodarap,

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Non sono neanche informato in quel campo, ma penso di poter fornire una risposta non costruttiva.

La teoria del primo ordine dei campi reali chiusi è decidibile. Il tuo problema può essere dichiarato come un sistema di equazioni algebriche e disequazioni rispetto ai numeri algebrici reali. Considera variabili . Vuoi sapere se il seguente sistema è soddisfacente: $2 (\deg P + \deg Q)$ $x_1,\ldots,x_{\deg P}, y_1,\ldots,y_{\deg P}, x'_1,\ldots,x'_{\deg P}, y'_1,\ldots,y'_{\deg P}$

\begin{align*}  P(x_j+i\,y_j) &= 0 & \text{for \(1 \le j \le \deg P\)} \\  Q(x'_k+i\,y'_k) &= 0 & \text{for \(1 \le k \le \deg Q\)} \\  x_j^2 + y_j^k &\le x_1^2 + x_2^2 & \text{for \(2 \le j \le \deg P\)} \\  x'_j^2 + y'_j^k &\le x'_1^2 + x'_2^2 & \text{for \(2 \le k \le \deg Q\)} \\  x_1^2 + y_1^2 = x'_1^2 + y'_1^2 \\\end{align*}

$\begin{align*} P(x_j+i\,y_j) &= 0 & \text{for $1 \le j \le \deg P$} \\ Q(x'_k+i\,y'_k) &= 0 & \text{for $1 \le k \le \deg Q$} \\ x_j^2 + y_j^k &\le x_1^2 + x_2^2 & \text{for $2 \le j \le \deg P$} \\ x'_j^2 + y'_j^k &\le x'_1^2 + x'_2^2 & \text{for $2 \le k \le \deg Q$} \\ x_1^2 + y_1^2 = x'_1^2 + y'_1^2 \\ \end{align*}$

Le prime due famiglie di equazioni esprimono che e sono le radici dei polinomi, le successive due famiglie di disequazioni esprimono che e hanno il valore assoluto più grande e l'ultima disequazione confronta questi valori assoluti più grandi. $x_j+i\,y_j$ $x'_k+i\,y'_k$ $x_1+i\,y_1$ $x'_1+i\,y'_1$

È determinabile se questo sistema è soddisfacente: il tuo problema è decidibile. Tuttavia, questa affermazione non è probabilmente il modo più efficace per farlo.

Una risposta più utile probabilmente riguarda la teoria delle basi di Gröbner . Se stai cercando di risolvere questo problema da solo, penso che leggere i primi capitoli di qualsiasi libro di algebra computazionale ti darà lo sfondo necessario. Se stai solo mirando a risolvere il tuo problema di fondo, probabilmente c'è un algoritmo standard che puoi implementare.

— Gilles 'SO- smetti di essere malvagio'
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Potrei sbagliarmi su questo: non sono anche molto ben informato in questo campo (dove sono gli esperti !?), ma credo di avere un algoritmo ragionevolmente veloce per quello che mi stai chiedendo.

Suppongo, per semplicità, che tutte le radici siano reali. Trova un intervallo associato alla radice di con il valore assoluto più alto (ovvero un intervallo tale che e per tutte le altre radici di ). Tale intervallo può essere trovato dall'uso combinato della dicotomia e del teorema di Sturm . Ora calcolare il GCD polinomiale di e . Verifica che abbia una radice in (di nuovo con il teorema di Sturm). $P$ $I$ $x_P\in I$ $x_P'\notin I$ $P$ $R$ $P$ $Q$ $R$ $I$

Se non erro, ha come principale a se e solo se e hanno una radice comune in , che a sua volta è possibile solo se è una radice di . Sia l'applicazione del teorema di Sturm che il GCD sono piuttosto veloci (in effetti non più che quadratici nella dimensione dei polinomi). $R$ $P$ $Q$ $I$ $x_P$ $Q$

Questo è solo uno schizzo, ma non ci vuole molto per trasformarlo in un algoritmo in buona fede , infatti sospetto che l'uso di Maple o Mathematica lo renderebbe banale.

— cody
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