Una Turing Machine (TM) può decidere se il problema di arresto si applica a tutte le TM?

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Su questo sito ci sono molte varianti sulla domanda se le TM possono decidere il problema di arresto, sia per tutte le altre TM che per determinati sottoinsiemi. Questa domanda è in qualche modo diversa.

Chiede se il fatto che il problema di arresto si applichi a tutte le TM possa essere deciso da una TM. Credo che la risposta sia no e desidero verificare il mio ragionamento.

Definisci il linguaggio meta-stop come linguaggio composto da TM che decidono se una TM si ferma. $L_{MH}$

L_{M H} = {M : \forall_{M^{'}, w} M (M^{'}, w) accepts if M^{'} (w) halts, rejects otherwise}

$L_{MH} = \{ M : \forall_{M',w} M(M', w) \text{ accepts if $M'(w)$ halts, rejects otherwise}\}$

causa del problema di arresto. $L_{MH}= \emptyset$

Quindi, la domanda sul titolo ha affermato più precisamente: è decidibile se ? $L_{MH} = \emptyset$

Secondo il teorema di Rice, è indeciso se un re linguaggio sia vuoto.
In entrambi i casi, se è o non è ri, non è possibile stabilire se . $L_{MH}$ $L_{MH} = \emptyset$
Pertanto, è indecidibile se . $L_{MH} = \emptyset$

Ciò dimostra che una TM non può decidere se il problema di arresto si applica a tutte le TM.

La mia comprensione è corretta?

AGGIORNAMENTO: Sto cercando di dimostrare che una TM non può "provare il problema di arresto" per alcune definizioni di "prova" che sembrano intuitivamente corrette. Di seguito è riportato un esempio del motivo per cui penso che sia corretto.

$M_{MH}$ $L_{MH}$ $(M_i,M_j,w_k,steps)$ $M_i(M_j, w_k)$ $steps$ $M_i$ $(M_j, w_k)$ $M_{MH}$ $M_i$ $M_i$ $M_i$

$M_{MH}$ $M_i$ $M_i$ $M_{MH}$ $M_i$ $M_i$

$M_{MH}$ $M_{MH}$ $M_i$ $M_{MH}$ $M_i$ $M_{MH}$ $M_{MH}$

— yters
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La tua correzione non aiuta. Un problema senza parametri è sempre decidibile, sia da una macchina di Turing che emette sempre SÌ, sia da una che emette sempre NO. Sfortunatamente, il tuo argomento non funziona. Il vero analogo del teorema di Gödel è il teorema di Rice.

— Yuval Filmus,

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"Chiede se il fatto che il problema di arresto si applichi a tutte le TM possa essere deciso da una TM." - la query non ha senso in quanto il problema di arresto non si "applica" a un set di TM. Almeno, non so cosa dovrebbe significare.

— Raffaello

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{M : L (M) = \emptyset}

$\{ M : L(M) = \emptyset \}$

\emptyset

$\emptyset$

\emptyset

$\emptyset$

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Penso che l'incomprensione risieda nel significato dell'espressione "decidere X". Formalmente, X dovrebbe essere un predicato sulle stringhe, e quindi una macchina che decide X è quella che sull'ingresso s produce il valore di verità di X ( s ). Qual è il predicato nel tuo caso? Qual è il suo input e quando è vero?

— Yuval Filmus,

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X

$X$

X

$X$

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$\varphi$ $L_{MH} = \emptyset$

$P = \{ x \mid x \mbox{ is a valid proof of } \varphi \mbox{ in ZFC}\}$
$M$ $\varphi$ $\neg \varphi$ $M$
$\{ M \mid M \mbox{ decides } P \}$

— vor
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Il linguaggio delle macchine di Turing che decide il problema dell'arresto è decidibile. Una macchina di Turing che decide semplicemente produce sempre NO.

$\emptyset$

$T$ $L(T) = \emptyset$

— Yuval Filmus
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La lingua vuota è decidibile. Affrontarla.

— Yuval Filmus,

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Il linguaggio delle macchine di Turing che decide il problema dell'arresto è vuoto. La lingua vuota è decidibile. Quindi il linguaggio delle macchine di Turing che decide il problema dell'arresto è decidibile.

— Yuval Filmus,

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La domanda è se un TM può decidere il linguaggio delle macchine Turing decidendo che il problema di arresto è vuoto. Una TM non può farlo come ho mostrato sopra.

— yters

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@yters Stai chiedendo se una TM può dimostrare che quella lingua è vuota? Può farlo facilmente, semplicemente emettendo una prova nota esistente.

— user253751

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Cosa significa persino per una TM provare qualcosa?

— Yuval Filmus,

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Hai frainteso il teorema di Rice.

Il teorema di Rice, in questo contesto, dice che non puoi decidere il problema "T decide la lingua vuota?".

Il tuo problema non è di decidere se una macchina Turing arbitraria decide la lingua vuota. Il tuo problema è se esiste o meno una M che decide la lingua vuota.

E tale M esiste. Puoi fare anche meglio di così: puoi effettivamente costruire una tale M e fornire una prova che decide la lingua vuota.

Il problema generale non essendo decidibile non significa che non è possibile risolvere istanze specifiche. In effetti, dal solito dispositivo di enumerazione di tutte le prove, esiste una macchina da presa che:

Accetta tutti i turing machine per i quali esiste una prova che decide la lingua vuota
Rifiuta ogni macchinetta per la quale esiste una prova che non decide la lingua vuota
Non si ferma se non può essere provato in entrambi i modi.

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La definizione di decidibilità da Wikipedia :

Un linguaggio ricorsivo è un linguaggio formale per il quale esiste una macchina di Turing che, quando presentata con una stringa di input finita , si ferma e accetta se la stringa è nella lingua, e si ferma e rifiuta in caso contrario. La macchina di Turing si ferma sempre: è conosciuta come un decisore e si dice che decida il linguaggio ricorsivo.

In altre parole, è decidibile se esiste una macchina di Turing che decide tutte le stringhe di input. È indeciso se per ogni macchina di Turing, non decide tutte le stringhe di input, il che significa che potrebbe decidere nessuna o alcune stringhe, ma ce n'è almeno una (ma praticamente almeno infinita) che non può decidere.

$L$ $L = \emptyset$ $L_{MH} = \emptyset$

— user23013
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