Problema con l'implementazione dell'algoritmo di Brzozowski

Ho cercato di implementare l'algoritmo di Brzozowski ma ho appena scoperto che crea automi non ottimali per una certa classe di input, con uno stato in più di quello che è veramente necessario nel risultato. Posso mostrarlo su un automa banale:

   a b           a   b           a b            a     b            a b
>0 0 1  rev  *0 0,2  -   det  >0 - 1  rev  *0   -     -    det  >0 1 2
 1 1 2  -->   1  1   0   -->   1 2 5  -->   1   -    0,4   -->   1 1 2
*2 0 2       >2  -  1,2        2 2 3        2  1,2    -          2 2 3
                              *3 4 -        3   -     2         *3 1 3
                              *4 4 1        4  3,4    -          
                              *5 5 5        5   5    1,5         
                                           >6 3,4,5 1,2,5        

Qui rev è la parte di inversione del bordo, dove avevo già rimosso le transizioni su epsilon, e det è la determinazione attraverso la costruzione di powerset, creando nuovi stati non appena li scopre, in modo ricorsivo.

Il problema qui è questo: una volta aggiunto lo stato extra per compensare i tre diversi stati iniziali dopo l'inversione del primo spigolo e la costruzione del powerset, nulla torna mai a quello stato e quindi non posso liberarmene in seguito per essere equivalente allo stato iniziale originale.

C'è qualcosa che non va nel modo in cui lo sto facendo? Mi sto perdendo qualcosa?

Questa è un'ottima domanda!

Il passaggio di ripristino dell'Algoritmo di Brzozowski non introduce un nuovo stato di partenza virtuale che porta ai vecchi stati di accettazione tramite transizioni . Permette invece più stati di partenza, il che non è un grosso problema, se costruisci l'automa del prodotto comunque subito dopo l'inversione.$\varepsilon$

Concettualmente, è il più semplice considerare il ripristino e la determinazione come un unico passaggio. Se il tuo DEA è , allora definiscilo come DEA ripristinato come segue:$M=(Q,\Sigma,\delta,q_0,F)$$M^R=(Q^R,\Sigma,\delta^R,q_0^R,F^R)$

• $Q^R=\mathcal{P}(Q)$ ,
• $q_0^R=F$ ,
• $F^R=\{ P\subseteq Q \mid q_0\in P\}$ ,
• $\delta^R(P,a):=\{ p\in Q \mid \delta(p,a)\in P\}$ .

(Potresti voler ignorare gli stati che non sono raggiungibili.)

Il teorema di Brzozowski afferma che è un DEA minimo che accetta .$(M^R)^R$$L(M)$

Per ulteriori approfondimenti suggerisco Elements of Automata Theory di Sakarovitch pagine 116-117.