Decidibilità delle lingue di grammatica e automi

Nota che questa è una domanda relativa allo studio in un corso CS presso un'università, NON è un compito a casa e può essere trovato qui sotto l'esame dell'autunno 20112.

Ecco le due domande che sto esaminando da un esame passato. Sembrano essere collegati, il primo:

Permettere

$\qquad \mathrm{FINITE}_{\mathrm{CFG}} = \{ < \! G \! > \mid G \text{ is a Context Free Grammar with } |\mathcal{L}(G)|<\infty \}$

Dimostra che è una lingua decidibile. $\mathrm{FINITE}_{\mathrm{CFG}}$

e...

Permettere

$\qquad \mathrm{FINITE}_{\mathrm{TM}} = \{ < \! M\!> \mid M \text{ is a Turing Machine with } |\mathcal{L}(M)|<\infty \}$

Dimostra che $\mathrm{FINITE}_{\mathrm{TM}}$ è un linguaggio indecidibile.

Sono un po 'perso su come affrontare questi problemi, ma ho alcune intuizioni che penso possano essere nella giusta direzione. La prima cosa di cui sono a conoscenza è che la lingua $A_{\mathrm{REX}}$ , dove

$\qquad A_{\mathrm{REX}} = \{ <\! R, w \!> \mid R \text{ is a regular expression with } w \in\mathcal{L}(R)\}$

è un linguaggio decidibile (la prova è nella teoria della computazione di Michael Sipser , pag. 168). La stessa fonte dimostra anche che una grammatica libera da contesto può essere convertita in un'espressione regolare e viceversa. Quindi $A_{\mathrm{CFG}}$ , deve anche essere decidibile in quanto può essere convertito in un'espressione regolare. Questo, e il fatto che $A_{\mathrm{TM}}$ è un -decidable, sembra essere correlato a questo problema.

L'unica cosa che mi viene in mente è passare G alle macchine di Turing per (dopo aver convertito G in un'espressione regolare) e . Quindi accettando se G fa e rifiutando se G no. Poiché è indecidibile, ciò non accadrà mai. In qualche modo mi sento come se stessi commettendo un errore qui, ma non sono sicuro di cosa sia. Qualcuno potrebbe darmi una mano, per favore? A T M A T $A_{\mathrm{REX}}$$A_{\mathrm{TM}}$$A_{\mathrm{TM}}$

1. Converti G in forma normale di Chomsky . In questo modo, l'unica derivazione vuota sarebbe il simbolo iniziale che non appare da nessun'altra parte e quindi se c'è una produzione che può eventualmente generare se stessa, la grammatica è infinita. Se non esiste tale produzione, ciascun simbolo sarà in grado di generare solo un set finito di stringhe, quindi la grammatica sarà limitata. Quindi, crea un grafico diretto in cui ogni produzione è un nodo e ogni simbolo all'interno di una produzione è un bordo destinato a quel simbolo. Se il grafico ha qualche ciclo, il CFG è infinito, altrimenti non lo è. Quindi una macchina di Turing per potrebbe essere costruita facendo esattamente questo, e quindi è decidibile. F I N I T E C F $FINITE_{CFG}$$FINITE_{CFG}$

2. Supponiamo che sia decidibile. Diciamo che è una macchina di Turing che ha una stringa come input e si utilizza come input per . Se restituisce true (ovvero, accetta solo un linguaggio finito), quindi accetta l'input, il che porta a una contraddizione poiché l'insieme di input è infinito (la lunghezza dell'ingresso è illimitata, quindi accetta qualsiasi stringa possibile come input significa accettando una serie infinita di stringhe). Se restituisce false (ovvero il linguaggio è infinito), rifiuta l'input, il che significa che$FINITE_{TM}$$H$$FINITE_{TM}$$FINITE_{TM}$$H$$H$$FINITE_{TM}$$H$$H$$H$Il linguaggio è finito perché non accetta alcun input (cioè il suo linguaggio è vuoto), il che porta anche a una contraddizione. In questo modo, la supposizione che esista porta alla contraddizione, e questa supposizione si basa sulla supposizione che sia decidibile. Quindi, per contraddizione, abbiamo non decidibile.$H$$FINITE_{TM}$$FINITE_{TM}$

La stessa fonte dimostra anche che una grammatica libera da contesto può essere convertita in un'espressione regolare e viceversa.

Dubito davvero che Sipser lo affermi, probabilmente hai frainteso o frainteso. Ciò significherebbe che le grammatiche senza contesto generano esattamente gli stessi linguaggi delle grammatiche lineari a destra. Questo è falso; le grammatiche lineari rette generate sono un sottoinsieme proprio delle lingue grammatiche libere dal contesto dp. Detto questo, il modo in cui hai cercato di usare lingue normali per rispondere alle domande non ti porta da nessuna parte.

Come puoi vedere sopra nelle mie prove, le due domande sono davvero due domande ben distinte e non correlate. Succede solo che sono stati formulati in modo simile.

Un altro modo per decidere è attraverso il lemma di pompaggio.$FINITE_{CFG}$

Il lemma di pompaggio dice che ogni CFL ha un numero N (che può essere calcolato dalla grammatica, o almeno un suo limite superiore può essere facilmente calcolato), in modo tale che qualsiasi x ∈ L più lunga di N possa essere "pompata" ".$L$$N$$x\in L$$N$

Ciò significa che se è finito, tutte le parole L sono più corti N .$L$$L$$N$

Ora, tutto ciò che uno ha bisogno di controllare è le parole con lunghezze comprese tra e 2 N . Se esiste una tale parola, allora L è infinito. Non è troppo difficile vedere che questa affermazione è "se e solo se", quindi se non trovi alcuna parola all'interno di questo intervallo, L è finito. L'efficienza qui è molto peggiore della risposta di Victor, ma insegna qualcosa sulla struttura dei CFL.$N$$2N$$L$$L$