Riferimenti sul confronto tra computer quantistici e macchine di Turing

Mi è stato detto che i computer quantistici non sono più computazionalmente più potenti delle macchine di Turing. Qualcuno potrebbe gentilmente aiutare a dare alcuni riferimenti letterari che spiegano questo fatto?

— Mok-Kong Shen
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— Gilles 'SO- smetti di essere malvagio' il

Risposte:

In realtà, tutto ciò che un computer quantistico può calcolare, può anche calcolare una macchina di Turing. (Questo è senza commentare affatto quanto tempo impiega la macchina di Turing per calcolare la funzione rispetto a un computer quantistico.)

Questo in realtà non è difficile da vedere, a condizione che tu comprenda il calcolo quantistico. Per un circuito quantistico su un tipico set di gate, ad esempio, il risultato è governato da una distribuzione di probabilità, che è determinata dai coefficienti di una matrice unitaria. Quella matrice unitaria è solo un prodotto matrice di quelli delle porte e può essere calcolata - se sei abbastanza paziente - da un computer classico. Quindi, per pura calcolabilità (al contrario di efficienza), non vi è alcun vantaggio nell'uso di computer quantistici.

L'intera sfida derivante dalla meccanica quantistica è determinare se tali coefficienti possono essere calcolati in modo efficiente , il che è un problema più impegnativo rispetto al fatto che possano essere calcolati affatto .

— Niel de Beaudrap
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Mentre la conoscenza del mio principiante mi dice che un circuito quantico rappresenta una trasformazione della matrice Hadamard, non riesco ancora a vedere come una possibilità di programmazione per eseguire calcoli arbitrari su una matrice su un computer classico possa essere un sostituto di avere fisicamente un circuito quantico. Ad esempio, il mio libro dice sulla generazione di numeri casuali come segue: 1. | x> <- | 0> 2. | x> <- H | x> 3. Misura | x> A cosa corrisponderebbe in particolare il passaggio 3 programmare su un computer classico?

— Mok-Kong Shen,

Una matrice Hadamard (correttamente normalizzata) è solo una possibile trasformazione unitaria. Per il tuo calcolo, possiamo riconoscere che una macchina di Turing deterministica può calcolare la distribuzione di probabilità (0,5, 0,5) costituita dalle norme al quadrato della prima colonna della matrice Hadamard

, e quello per una macchina di Turing randomizzata (che può eseguire lanci di monete), possiamo fare un ulteriore passo avanti e produrre un campione da quella distribuzione di probabilità. In ogni caso, qualsiasi funzione calcolata dal circuito quantistico con errore <1/2, può funzionare anche una macchina classica.

| ⟨ b | H | 0 ⟩ |^{2}

$\bigl|\langle b |H|0\rangle\bigr|^2$

— Niel de Beaudrap,

@ Mok-Kong Shen: nel caso non fosse chiaro dalle mie osservazioni sull'inefficienza o sulla lentezza, si suppone comunemente che i computer quantistici siano più potenti dal punto di vista computazionale, nel senso che sono in grado di calcolare più rapidamente . Ho affrontato il fatto che non sono in grado di calcolare cose che un computer classico non potrebbe anche calcolare (dove sconto l'idea di "lanciare una moneta" come calcolo).

— Niel de Beaudrap,

Considera un gate quantico. Appianare tutti i dettagli tecnici, può essere rappresentata come matrice . Un input per il gate, diciamo è solo un vettore , e l'uscita della porta è il vettore . $G$ $\vert \phi \rangle$ $v$ $Gv$

Ora, considera un circuito. Un circuito è solo un gruppo di porte e il circuito stesso può essere visto come una "porta generalizzata" , che opera sullo stato di ingresso (il vettore ). [Ancora una volta, questa è un'astrazione molto approssimativa.] $\{G_1, G_2, ... \}$ $C=G_n \cdots G_2 G_1$ $v$

Quindi, fondamentalmente, calcolare un circuito su un input , viene semplicemente calcolando il vettore o . È chiaro che tale compito (moltiplicazione di matrice e moltiplicazione di matrice per vettore) può essere svolto da una TM classica, quindi la TM è almeno forte quanto una Quantum-TM (QTM) [ok, i circuiti classici sono forti quanto la quantistica circuiti. non importa quello.] $\vert \phi \rangle$ $Cv$ $G_n \cdots G_2 G_1 v$

D'altra parte QTM è banalmente forte come TM, e quindi, entrambi i modelli sono equivalenti.

MODIFICA a causa di commenti
Per chiedere quale "computer" è più potente, dobbiamo prima chiarire cosa significa essere più "computazionalmente potenti". E questa discussione semi-filosofica inizia con la domanda

Che cos'è il calcolo ?

"Riproduzione di file MP3" è un calcolo? L'output di numeri casuali è un calcolo?

$x$ $y=f(x)$ $y$ $y$ $x$ $f$

$f$ $B$

$A$ $B$ $f$ $A$ $f$ $B$ $f$

$y$ $y_1$ $p_1$ $y_2$ $p_2$ $^0$

$f(x)$ $y_i$ $p_i>0.75$ $^1$ $f$ $f(x)$ $^2$ $f$ $f(x)$ $(y_1,p_1), (y_2,p_2),...$

Con quanto sopra, dovrebbe essere chiaro che avere probabilità non modifica la potenza del modello e una TM classica può semplicemente produrre l'elenco di possibili uscite insieme alla probabilità per ogni uscita. questo è esattamente ciò che accade quando una TM moltiplica le matrici e genera un vettore: il vettore rappresenta la probabilità di ogni possibile output di misurazione.

^{$^0$

$^1$ $p=0.75$ $1/2$

$^2$ $f$}

— Suonò.
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Potrei programmare calcoli con matrici su un computer classico ma non so come scrivere un codice per simulare un calcolo quantistico. Mi serviranno comunque bit quantici. Un bit quantico ha 2 valori comunemente indicati con alfa e beta. Quali valori dovrei usare? Vedi anche il mio commento alla risposta di Niel de Beaudrap per il caso della generazione di numeri casuali.

— Mok-Kong Shen,

| ψ ⟩ = α | 0 ⟩ + β | 1 ⟩

$\def\ket#1{|#1\rangle}\ket\psi = \alpha\ket0 + \beta\ket1$

ψ ψ = [α β]^{⊤}

$\pmb\psi = [\alpha\quad\beta]^\top$

@Niel de Beaudrap: Ma quando scrivo un codice per simulare una certa computazione quantistica, ad esempio la generazione di numeri casuali che ho citato, ho bisogno di implementare bit quantici simulati sul computer classico. Sono ignaro di come scrivere codice per farlo senza conoscere i valori di questi coefficienti.

— Mok-Kong Shen,

@ Mok-Kong Shen: il punto è che in fase di esecuzione, lo sai; e il problema è esattamente lo stesso del campionamento da una distribuzione di probabilità classica che è specificata all'ingresso, cioè riduce a problemi ben studiati nel campionamento casuale. I metodi Monte Carlo si applicano qui, per esempio.

— Niel de Beaudrap,

@ Mok-KongShen Per favore, non usare i commenti (specialmente sul post di qualcun altro) per discussioni estese. Vai a chattare , nella stanza generale di questo sito o in una chat room creata allo scopo.

— Gilles 'SO- smetti di essere malvagio' il

altre risposte sono valide, voglio solo aggiungerne una che enfatizzi che questa è davvero una domanda molto profonda (in gran parte ancora aperta / non risolta) al centro di molte ricerche moderne sulle separazioni di classi di complessità e informatica quantistica vs classica. sono funzionalmente equivalenti per quanto i computer TM e QM siano entrambi comprovati come Turing completi ; ci sono molti modi per dimostrarlo.

ma l'equivalenza nella teoria della complessità dipende molto dalle sottigliezze / efficienze nel tempo e nello spazio, cioè risorse per calcolare algoritmi particolari. e c'è anche un'enorme quantità di ricerche sul "rumore" nell'informatica QM che ritiene che i modelli teorici silenziosi potrebbero non essere "reali" o realizzabili nella pratica e che i modelli reali potrebbero / avranno un rumore significativo. ci sono schemi complessi per mitigare questo rumore, ecc .; ci sono alcuni commenti eccellenti su questo in vari post nel blog di RJ Liptons, ad esempio macchine volanti del 21 ° secolo

ad esempio è stato dimostrato che il factoring è in BQP, la classe di algoritmi quantistici che girano in P time, da Shor in una famosa dimostrazione che all'epoca ha anche lanciato una grande quantità di studi / ricerche serie nel QM computing a causa del drammatico risultato.

$\stackrel{?}{=}$

Scott Aaronson è un eccellente scrittore / ricercatore del soggetto e ha scritto alcuni articoli accessibili al profano. vedi ad es. I limiti dei computer QM, SciAm o QM computing promettono nuove intuizioni, NYT .

— VZN
fonte

nota, l'erpice di aram è uno scettico principale dei problemi di rumore di Wrm di elaborazione di QM. un altro buon punto di partenza, blog RJ Lipton, moto perpetuo del 21 ° secolo?

— vzn,