In che modo la coerenza implica che anche un'euristica è ammissibile?

Una funzione euristica $h (n)$ è ...

• Coerente se il costo stimato dal nodo $n$ all'obiettivo non è maggiore del costo del passaggio per il suo successore $n'$ più il costo stimato dal successore all'obiettivo.
• È ammissibile se $h(n)$ non sopravvaluta mai il costo reale per lo stato obiettivo.

Il libro di testo per il mio corso di Intelligenza Artificiale afferma che la coerenza è più forte della ricevibilità ma non lo dimostra, e ho difficoltà a trovare una spiegazione matematica.

Per provare l'affermazione nella tua domanda, cerchiamo di dimostrare che la coerenza implica ammissibilità mentre il contrario non è necessariamente vero. Ciò renderebbe la coerenza una condizione più forte di quest'ultima.

La coerenza implica ammissibilità:

$h(t)=0$$h$$t$$h(t)=0$

La prova procede per induzione:

$t$$n$$t$$n$$h(n)\leq c(n,t) + h(t)=c(n,t) + 0 =c(n,t)$$h$

$\langle n, t\rangle$$n$$t$$n$$t$$h(n)\leq c(n,t)$$t$

$n$$t$$n$$h^*(n)$$\min_{m\in\mathrm{SCS(n)}}\{c(n,m)+h^*(m)\}$$\mathrm{SCS}(n)$$n$$h(n)\leq c(n,n')+h(n')$$h(n')\leq h^*(n')$$h(n)\leq c(n,n')+h^*(n')$$n'$$n$$h(n)\leq \min_{m\in\mathrm{SCS(n)}}\{c(n,m)+h^*(m)\} = h^*(n)$ , in modo che .$h(n)\leq h^*(n)$

La ricevibilità non implica necessariamente coerenza:

Per questo è sufficiente un semplice esempio. Considera un grafico che consiste in un singolo percorso con 10 nodi: , dove l'obiettivo è . Supponiamo WLOG che tutti i costi di bordo sono uguali a 1. Ovviamente , e facciamo , e . Chiaramente, la funzione euristica è ammissibile :$\langle n_0, n_1, n_2, ..., n_9\rangle$$n_9$$h^*(n_0)=9$$h(n_0)=8$$h(n_i)=1, 1\leq i<9$$h(n_9)=0$

1. $h(t)=0$
2. $h(n_i)=1\leq h^*(n_i)=(9-i)$ , .$\forall i, 1\leq i<9$
3. Infine, .$h(n_0)=8\leq h^*(n_0)=9$

Tuttavia, non è coerente e .$h(n)$$h(n_0)=8 > c(n_0, n_1)+h(n_1)=1+1=2$

Spero che sia di aiuto,