Intuizione dietro la condizione | xy | ≤ p nel lemma di pompaggio per le lingue normali

Quando guardo le prove per pompare il lemma , ho la sensazione che spesso mi manca l'intuizione dietro la condizione | xy | ≤ p.

Qual è esattamente il motivo dietro questa condizione? Tutta la letteratura che ho dato un'occhiata è silenziosa (nessuna prova, nessuna discussione, solo un'affermazione) su questo punto, o afferma che vogliamo che la prima ripetizione avvenga non troppo lontano dall'inizio .

Ma quando c'è una disuguaglianza in gioco, con simboli e operatori molto precisi, non ci aspettiamo che ci sia una chiara prova dove alla fine raggiungiamo questa condizione?

Quello che sto cercando sono

1. Prova matematica per la condizione, | xy | ≤ p.
2. Intuizione dietro la stessa condizione.

Per rendere le stringhe sufficientemente lunghe, abbiamo la dimensione della stringa della condizione almeno p. Il mio problema specifico è il motivo per cui è necessario che | xy | ≤ p? E cosa si rompe se | xy | ≤ p non è vero?

( Qual è la ragione della seconda condizione del lemma (i) di pompaggio?) , Non risponde esattamente alla mia domanda. La domanda è forse corretta, ma le risposte forniscono solo alcuni esempi senza molta intuizione profonda.)

Non è necessario per la prova. Puoi provare il lemma senza questa condizione. L'aggiunta di questa condizione rende l'istruzione più forte e quindi più utile.

L'intuizione qui è che se un DFA ha stati e c'è un elenco di di essi, l'elenco deve contenere due stati uguali. La stringa è la parte che si estende dall'inizio dell'input alla prima occorrenza del doppio stato e la stringa estende fino alla seconda occorrenza. Considerando la prima ripetizione possiamo garantire che , poiché dopo aver letto i caratteri abbiamo visto stati.$p$$p+1$$x$$y$$|xy| \leq p$$p$$p+1$