Doppi triangoli unici di poligoni semplici

Data una triangolazione (senza punti di Steiner) di un semplice poligono , si può considerare il doppio di questa triangolazione, che è definita come segue. Creiamo un vertice per ogni triangolo nella nostra triangolazione e colleghiamo due vertici se i triangoli corrispondenti condividono un bordo. Il doppio grafico è noto per essere un albero con massimo grado tre. $P$

Per la mia domanda, sono interessato a quanto segue. Dato un albero con grado massimo tre, c'è sempre un poligono semplice tale che il duale di ogni triangolazione (senza punti di Steiner) di è uguale a . Qui, la triangolazione di potrebbe non essere unica, ma ho bisogno che il doppio grafico sia unico. $T$ $P$ $P$ $T$ $P$

Questo è certamente vero quando è un percorso, ma diventa poco chiaro quando si hanno vertici di grado tre. $T$

reference-request computational-geometry

— Nizbel99
fonte

Il doppio grafico non è necessariamente un albero. Considera questa forma a stella , che a seconda della tua definizione di condivisione di un bordo (completo o parziale) è un grafico disgiunto di 4 vertici o un 4 cicli.

— orlp,

Buona pesca! Ho dimenticato di dire che non ammetto punti Steiner nelle mie triangolazioni. Aggiornerò la domanda.

— Nizbel99,

Domanda interessante, ma sono curioso di sapere quale applicazione possa avere. Puoi dire?

— Lucertola discreta

Dato un albero con massimo grado tre, c'è sempre un semplice poligono tale che il doppio di ogni triangolazione (senza punti di Steiner) di è uguale a ? $T$ $P$ $P$ $T$

Sì. Per dimostrarlo, fornirò una procedura per ottenere il risultato apparentemente leggermente più forte *:

Dato un albero con massimo grado tre, costruisci un semplice poligono , in modo tale che la triangolazione unica di (senza punti di Steiner) abbia come doppio. $T$ $P$ $P$ $T$

Iniziare creando un triangolo iniziale , rappresentando qualche vertice a e aggiungere alla coda . Quindi, ripeti quanto segue fino a quando è vuoto: $\Delta_0$ $v_0$ $T$ $v_0$ $Q$ $Q$

Pop l'elemento superiore, , dalla coda. $v$
$w$ $AB$ $\Delta_v$ $D$ $AB$ $\Delta ABD$ $\Delta_w\leftarrow\Delta ABD$ $w$ $Q$

$P$ $T$

$AB$ $AD$

$CD$ $P$ $Q \notin \{B,D\}$ $DQ$ $P$ $AD$ $BD$ $\Delta ABD$ $Q$ esiste solo se esiste un punto analogo per il triangolo posizionato in precedenza. Dal momento che non esiste un punto simile per il primo triangolo, ciò significa che non esiste un punto simile per nessun triangolo che aggiungiamo.

$(X,Y)$ $P$ $XY$ $P$ $P$

Si noti che i poligoni costruiti con questo metodo tendono ad avere angoli piuttosto acuti. Sospetto che grafi arbitrari di grandi dimensioni richiedano poligoni con angoli piccoli arbitrari, il che potrebbe essere un problema quando si disegnano questi poligoni con precisione finita.

_{*: La differenza è che, se interpretiamo "unico" fino all'isomorfismo (che è coerente con l'unicità delle triangolazioni e i doppi essendo diversi), staremmo bene con un poligono con più triangolazioni che hanno tutti i doppi isomorfi. Tuttavia, è possibile "attaccare" più triangoli a quei poligoni per assicurarsi che alcuni doppi non siano più isomorfi.}

— Lucertola discreta
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