Linguaggio dei valori di una funzione affine

Scrivi per l'espansione decimale di (senza inizio ). Lasciate e interi, con . Considera la lingua delle espansioni decimali dei multipli di più una costante:$\bar n$$n$0$a$$b$$a > 0$$a$

è regolare? context-free?$M$

(Contrasto con la lingua del grafico di una funzione affine )

_{Penso che questo farebbe una buona domanda a casa, quindi le risposte che iniziano con un suggerimento o due e spiegano non solo come risolvere la domanda, ma anche come decidere quali tecniche utilizzare sarebbero apprezzate.}

Molto semplice: supponiamo che i numeri siano scritti in decimali (altre basi sono gestite da una banale modifica). Costruire un DFA, con States 0, 1, ..., . Lo stato iniziale è 0 e dallo stato all'ingresso la cifra passa allo stato . Lo stato di accettazione è (potrebbe essere necessario modificare se ).$a$$a - 1$$q$$d$( 10 q + d ) mod a b mod a b > $(10 q + d) \bmod a$$b \bmod a$$b > a$

È regolare. Lavoriamo prima in binario, che generalizzerà a qualsiasi base> 1. Sia la lingua in questione. Per a = 1, b = 0 otteniamo$M_{a,b}$

$M_{1,0} = \{1, 10, 11, 100, 101, ...\}$

che è tutte le stringhe sopra senza zeri iniziali, che è regolare (costruisci un'espressione regolare per essa).$\{0,1\}$

Ora per ogni , con b ancora 0 otteniamo da moltiplicando numericamente per a, cioè eseguendo la trasformazione su ogni stringa di . Ciò può essere fatto bit per bit da una sequenza di spostamenti e aggiunte di che dipendono dai bit della stringa fissa . Le due trasformazioni di cui abbiamo bisogno sono:a M a , 0 M 1 , 0 ˉ x → ¯ a x$a$$M_{a,0}$$M_{1,0}$$\bar x \rightarrow \overline {ax}$ a , 0 x ˉ $M_{a,0}$$x$$\bar a$

$\bar x \rightarrow \overline {2x}$ che è$\bar x \rightarrow \bar x0$

e

$\bar x \rightarrow \overline {2x+x}$

Concatenare uno 0 a destra preserva chiaramente la regolarità. Dobbiamo quindi solo provare che la seconda operazione preserva la regolarità. Il modo per farlo è con un trasduttore a stato finito che lavora su da destra a sinistra. Questo è il passo più difficile. Suggerisco di farlo con un programma pseudo-codice e una certa memoria ausiliaria finita (come alcune variabili bit) piuttosto che usare gli stati. Fintanto che la memoria ha una dimensione fissa su tutti gli input e si esegue la scansione da destra a sinistra, è una trasduzione a stati finiti e mantiene la regolarità.$\bar x$

Infine, per ottenere da dobbiamo aggiungere numericamente a ciascuna stringa, ma ciò viene fatto con un trasduttore simile che dipende dal numero fisso b.$M_{a,b}$ M a , 0 b T $M_{a,0}$$b$$T_b$

Per fare lo stesso in qualsiasi base, mostra inoltre come eseguire la moltiplicazione per una singola cifra in quella base, usando un trasduttore che dipende da d. Con ciò, possiamo moltiplicare per numeri a più cifre e rimanere ancora nelle lingue normali. Oppure, possiamo affinare ciò dicendo che la moltiplicazione per è solo un'aggiunta ripetuta.d S d$d$$S_d$$d$

Volevi solo suggerimenti. Ognuno di questi passaggi dipende da un teorema / una tecnica abbastanza complessi, quindi provare a ottenere una prova completa sarà il lavoro extra.

Suggerimento n. 1 : risolvere innanzitutto il problema più popolare "scrivere un automa che riconosca le rappresentazioni decimali / binarie dei numeri divisibili per 3" quando appare per primo il bit meno significativo .

Domanda intermedia: prova che è regolare.$\{ \overline{a\,x+b}\mid a\,x+b≥0 \quad x\in\mathbb{Z}\}$

Suggerimento n. 2 : il grafico della funzione "modulo " è finito. Puoi calcolarlo per ogni in che è sia l'insieme delle cifre che la lingua dell'automa.( n ↦ 10 n + d ) a d { 0 , … , 9 $(n \mapsto 10n+d)$$a$$d$$\{0, \dots, 9\}$

Suggerimento # 3 : ora, sostituire con . Che cosa cambia? Cerca di usare il fatto che le lingue normali sono stabili per intersezione invece di costruire un automa ad hoc .x ∈ Z x ∈ $x∈\mathbb Z$$x∈\mathbb N$

Hint 4 # : ormai per scontato che è un numero primo (in modo che è un campo) e che siamo ancora nel caso in cui . Ora usiamo una rappresentazione in cui il primo bit è il bit più significativo . Puoi costruire l'automa allo stesso modo?a Z / a Z x ∈ $a$$\mathbb Z/a\mathbb Z$$x∈\mathbb Z$

Suggerimento n. 5 : non è sempre necessario creare un automa per dimostrare che una lingua è regolare. Come puoi utilizzare i risultati precedenti per dimostrare che è regolare? (prima con il bit più significativo)$M$

Sto seguendo l'idea di @vonbrand:

Suggerimento 1:

Risolvi prima per b = 0 . Potresti usare il Teorema di Myhill-Nerode .$b=0$

Definiamo la seguente relazione . Questa è ovviamente una relazione di equivalenza. Inoltre è giusto congruente, poiché se aggiungiamo una cifra otteniamo . Infine satura , poiché è la classe di equivalenza . Dal momento che ha un numero finito di classi, secondo il Teorema di Myhill-Nerode, è regolare. La FSA associata è minima e ha stato.ˉ x ≈ ˉ y :⟺x ≡ ymoda d ˉ x ≈ ˉ $\bar x\approx \bar y :\iff x\equiv y \mod a$$d$⟺10 x + d ≡ 10 y + dmodun'⟺ˉ x d≈ ˉ y dLL[0]≈$\bar x \approx \bar y \iff 10x+d \equiv 10y+d \mod a \iff \bar x d \approx \bar y d$$L$$L$$[0]$$\approx$$a$

Suggerimento 2:

Risolvi il caso generale, riutilizza l'automa indotto dal caso .$b=0$

Sappiamo che la lingua è regolare per . Quindi semplicemente prendere stato FSA per il linguaggio. Ora costruiamo un FSA per . Supponiamo che abbia cifre. Quindi la FSA si ramifica come un albero di 10 arri di profondità e contiene tutti i percorsi verso i numeri con cifre. Tutti gli stati che possono essere raggiunti con un numero non nella forma rifiutano altrimenti. Infine colleghiamo la parte ad albero dell'FSA con l'automa , secondo il resto dalla divisione per .b = 0 a M b = 0 L b k k k a x + b M $b=0$$a$$M$$b=0$$L$$b$$k$$k$$k$$ax+b$$M$$a$

La lingua è regolare

Suggerimento: scartare nove

Idea di prova

Per un = 9 e b < 9 ,$a=9$$b < 9$

costruire un automa con 9 stati etichettati da 0 a 8 . 0 è lo stato iniziale e l'unico stato finale è b . Dallo stato s , sulla cifra d , transizione allo stato ( s + d $9$$0$$8$$0$$b$$s$$d$m o d9 .$(s + d) \;\mathrm{mod}\; 9$

Per gestire altri valori di a che sono coprime con 10 ,$a$$10$

raggruppare le cifre in pacchetti per trovare alcuni k tali che a divida 10 k - 1 (ad esempio prendere k = 3 se a = 37 perché 999 = 27 × 37 ).$k$$a$$10^k-1$$k=3$$a=37$$999 = 27 \times 37$

Per gestire i valori di a i cui unici fattori primi sono 2 e 5 ,$a$$2$$5$

nota che si tratta di un numero finito di cifre alla fine.

Per generalizzare a tutti i valori di un e B ,$a$$b$

utilizzare il fatto che l'unione e intersezione di linguaggi regolari sono regolari, che le lingue finite sono regolari, e che i multipli di un 1 ⋅ un 2 sono esattamente i multipli di sia quando un 1 e un 2 sono coprimi.$a_1 \cdot a_2$$a_1$$a_2$

Si noti che utilizziamo qualsiasi tecnica sia conveniente; le tre principali tecniche elementari (espressioni regolari, automi finiti, proprietà set-teoriche) sono tutte rappresentate in questa dimostrazione.

Prova dettagliata

Lascia a = 2 p 5 q a ′ con a ′ coprime con 10 . Sia M ′ = { ¯ a $a = 2^p 5^q a'$$a'$$10$x + b ∣x∈Z∧a′x + b ≥ 0 } e M ″ = { ¯ 2 p 5 $M' = \{\overline{a'\,x+b} \mid x\in\mathbb{Z} \wedge a'\,x+b \ge 0\}$x + b ∣x∈Z∧2p5qx + b ≥ 0 } . Per aritmetica elementare, i numeri uguali a b modulo a sono esattamente i numeri uguali a b modulo a ′ e b modulo 2 p 5 q , quindi M ∩ { ¯ x ∣ x ≥ b } = M ′ ∩ M ″ ∩ { ¯ x ∣ x ≥ b } . Poiché l'intersezione delle lingue normali è regolare e$M'' = \{\overline{2^p 5^q\,x+b} \mid x\in\mathbb{Z} \wedge 2^p 5^q\,x+b \ge 0\}$$b$$a$$b$$a'$$b$$2^p5^q$$M \cap \{\overline{x} \mid x \ge b\} = M' \cap M'' \cap \{\overline{x} \mid x \ge b\}${ ¯ x ∣ x ≥ b } è regolare perché è il complemento di una lingua finita (quindi regolare), se anche M ′ e M ″ sono regolari, allora M ∩ { ¯ x ∣ x ≥ b } è regolare; e M è quindi regolare poiché è l'unione di quella lingua con un insieme finito. Quindi per concludere la prova è sufficiente dimostrare che M ′ e M ″ sono regolari.$\{\overline{x} \mid x \ge b\}$$M'$$M''$$M \cap \{\overline{x} \mid x \ge b\}$$M$$M'$$M''$

Cominciamo con M ″ , cioè numeri modulo 2 p 5 q . Gli interi la cui espansione decimale è in M ″ sono caratterizzati dalle loro ultime cifre m a x ( p , q ) , poiché cambiare le cifre più a sinistra significa aggiungere un multiplo di 10 m a x ( p , q ) che è un multiplo di 2 p 5 q . Quindi 0 ∗ M ″ = ℵ ∗ F dove$M''$$2^p 5^q$$M''$$\mathrm{max}(p,q)$$10^{\mathrm{max}(p,q)}$$2^p 5^q$$0^* M'' = \aleph^* F$ℵ è l'alfabeto di tutte le cifre e F è un insieme finito di parole di lunghezza m a x ( p , q ) e M ″ = ( ℵ ∗ F ) ∩ ( ( ℵ ∖ { 0 } ) ℵ ∗ ) è un normale linguaggio.$\aleph$$F$$\mathrm{max}(p,q)$$M'' = (\aleph^* F) \cap ((\aleph \setminus \{0\}) \aleph^*)$

Passiamo ora a M ′ , ovvero numeri modulo a ′ dove a ′ è coprime con 10 . Se a ′ = 1, allora M ′ è l'insieme delle espansioni decimali di tutti i naturali, ovvero M ′ = { 0 } ∪ ( ( ℵ ∖ { 0 } ) ℵ ∗ ) , che è un linguaggio regolare. Ora assumiamo un ′ > 1 . Sia k = a ′$M'$$a'$$a'$$10$$a' = 1$$M'$$M' = \{0\} \cup ((\aleph \setminus \{0\}) \aleph^*)$$a' > 1$1 . Secondo il piccolo teorema di Fermat, 10 a ′ - 1 ≡ $k = a'-1$moda ′ , vale a dire che a ′ divide 10 k - 1 . Costruiamo un automa finito deterministico che riconoscerà 0 ∗ M ′ come segue:$10^{a'-1} \equiv 1 \mod a'$$a'$$10^k-1$$0^* M'$

• Gli stati sono [ 0 , k - 1 ] × [ 0 , 10 k - 2 ] . La prima parte rappresenta una posizione della cifra e la seconda parte rappresenta un numero modulo 10 k - 1 .$[0,k-1] \times [0,10^k-2]$$10^k-1$
• Lo stato iniziale è ( 0 , 0 ) .$(0,0)$
• Esiste una transizione etichettata d da ( i , u ) a ( j , v ) iff v ≡ d 10 i + $d$$(i,u)$$(j,v)$mod10 k - 1 e j ≡ i + $v \equiv d 10^i + u \mod 10^k-1$modk .$j \equiv i + 1 \mod k$
• Uno stato ( i , u ) è definitiva se e solo se u ≡ $(i,u)$moda ′ (nota che a ′ divide 10 k - 1 ).$u \equiv b \mod a'$$a'$$10^k-1$

Lo stato ( i , u ) raggiunto da una parola ¯ x soddisfa i ≡ | ¯ x$(i,u)$$\overline{x}$modk ed u ≡ $i \equiv |\overline{x}| \mod k$mod10 k - 1 . Ciò può essere dimostrato dall'induzione sulla parola, seguendo le transizioni sull'automa; le transizioni sono calcolate per questo, usando il fatto che 10 k ≡ $u \equiv x \mod 10^k-1$mod10 k - 1 . Pertanto l'automa riconosce le espansioni decimali (consentendo gli zeri iniziali) dei numeri della forma u + y 10 k con u ≡ $10^k \equiv 1 \mod 10^k-1$$u + y 10^k$moda ′ ; da 10 k ≡ $u \equiv b \mod a'$moda ′ , l'automa riconosce le espansioni decimali dei numeri pari a b modulo a ′ consentendo zeri iniziali, che è 0 ∗ M ′ . Questa lingua è quindi dimostrata regolare. Infine, M ′ = ( 0 ∗ M ′ ) ∩ ( ( ℵ ∖ { 0 } ) ℵ ∗ ) è una lingua normale.$10^k \equiv 1 \mod a'$$b$$a'$$0^* M'$$M' = (0^* M') \cap ((\aleph \setminus \{0\}) \aleph^*)$

Per generalizzare a basi diverse da 10 , sostituire 2 e 5 sopra con tutti i fattori primi della base.$10$$2$$5$

Prova formale

Lasciato come esercizio per il lettore, nel tuo proverore teorema preferito.