Che cos'è l'induzione-induzione?

Che cos'è l' induzione-induzione ?

Le risorse che ho trovato sono:

il libro HoTT , alla fine del capitolo 5.7.
L'articolo di nLab
un documento chiamato Definizioni induttive-induttive
questo post del blog cita anche tipi induttivi-induttivi

I primi due riferimenti sono troppo brevi per me e gli ultimi due sono troppo tecnici. Qualcuno può spiegarlo in parole povere? Sarebbe meglio se c'è il codice Agda.

type-theory induction inductive-datatypes

— 盛安安
fonte

C'è il codice Agda nella tua quarta citazione.

— Gilles 'SO- smetti di essere malvagio' il

Certo, ma sarebbe molto difficile leggere quell'enorme quantità di codice. E (immagino) super facile solo vedendo 1 o 2 esempi.

— 盛安安

03-10-2016 supplementare: ho confuso induzione-induzione e induzione-ricorsione (non la prima volta che l'ho fatto!). Mi scuso per il casino. Ho aggiornato la risposta per coprire entrambi.

Trovo illuminanti le spiegazioni nel documento di Forsberg & Setzer Un'assiomatizzazione finita delle definizioni induttive-induttive .

Induzione-ricorsione

Una definizione induttiva-ricorsiva è una definizione in cui definiamo un tipo $A$ e una famiglia di tipi $B : A \to \mathsf{Type}$ contemporaneamente in un modo speciale:

$A$ è definito come un tipo induttivo.
$B$ è definito da ricorsione $A$ .
Fondamentalmente, la definizione di $A$ può utilizzare $B$ .

Senza il terzo requisito, potremmo definire prima $A$ e poi separatamente $B$ .

Ecco un piccolo esempio. Definire $A$ induttivamente per avere i seguenti costruttori:

$a : A$
$\ell : \big(\sum_{x : A} B(x)\big) \to A$

La famiglia di tipi $B$ è definita da

$B(a) = \mathtt{bool}$
$B(\ell(x, f)) = \mathtt{nat}$

$A$

a : A .

$a : A.$

B (a)

$B(a)$

b o o l

$\mathtt{bool}$

ℓ (a, f a l s e)

$\ell(a, \mathtt{false})$

ℓ (a, t r u e)

$\ell(a, \mathtt{true})$

A

$A$

B (ℓ (a, f a l s e)) = B (ℓ (a, t r u e)) = n a t

$B(\ell(a, \mathtt{false})) = B(\ell(a, \mathtt{true})) = \mathtt{nat}$

n : n a t

$n : \mathtt{nat}$

ℓ (ℓ (a, f a l s e), n) : A

$\ell(\ell(a, \mathtt{false}), n) : A$

ℓ (ℓ (a, t r u e), n) : A

$\ell(\ell(a, \mathtt{true}), n) : A$

B (ℓ (ℓ (a, t r u e), n)) = n a t

$B(\ell(\ell(a, \mathtt{true}), n)) = \mathtt{nat}$

m : n a t

$m : \mathtt{nat}$

ℓ (ℓ (ℓ (a, t r u e), n), m) : A

$\ell(\ell(\ell(a, \mathtt{true}), n), m) : A$

ℓ (ℓ (ℓ (a, f a l s e), n), m) : A

$\ell(\ell(\ell(a, \mathtt{false}), n), m) : A$

A

$A$

Induzione induzione

$A$ $B : A \to \mathsf{Type}$

$A$
$B$ $A$
$A$ $B$

$B$

B (c (\dots)) = \dots

$B(\mathsf{c}(\ldots)) = \cdots$

c (\dots)

$\mathsf{c}(\ldots)$

A

$A$

B

$B$

B

$B$

$A$

$a : A$
$\ell : \big(\sum_{x : A} B(x)\big) \to A$

$B$

$\mathsf{Tru} : B(a)$
$\mathsf{Fal} : B(a)$
$x : A$ $y : B(x)$ $\mathsf{Zer} : B(\ell(x,y))$
$x : A$ $y : B(x)$ $z : B(\ell(x,y))$ $\mathsf{Suc}(z) : B(\ell(x,y))$

$B$ $B(a)$ $B(\ell(x,y))$

— Andrej Bauer
fonte

perché diavolo qualcuno dovrebbe definire tali tipi di dati D:

— 盛安安

Per insegnare cos'è un tipo induttivo-induttivo. Potrei darti un esempio reale, vale a dire un universo di tipo, ma sarebbe confuso.

— Andrej Bauer,

@AndrejBauer Mi sembra più una ricorsione a induzione. L'induzione-induzione è quando la famiglia di tipi è definita come un tipo induttivo .

— gallais,

Oops, hai assolutamente ragione. Lo aggiusterò.

— Andrej Bauer,

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$\ell$