Ridurre il flusso massimo alla corrispondenza bipartita?

C'è una riduzione famosa ed elegante dal massimo problema di corrispondenza bipartita al problema del flusso massimo: creiamo una rete con un nodo di origine , un nodo terminale e un nodo per ogni elemento da abbinare, quindi aggiungiamo i bordi appropriati. $s$ $t$

Esiste sicuramente un modo per ridurre il flusso massimo al massimo abbinamento bipartito nel tempo polinomiale, poiché entrambi possono essere risolti singolarmente in tempo polinomiale. Tuttavia, esiste una "bella" riduzione del tempo polinomiale dal flusso massimo (nei grafici generali) alla massima corrispondenza bipartita?

reductions network-flow bipartite-matching

— templatetypedef
fonte

Stai chiedendo informazioni sul flusso di rete in un grafico bipartito o in generale?

— DW

Stavo pensando al flusso massimo nei grafici generali.

— templatetypedef,

Le riduzioni dei tempi multipli all'interno di P sono noiose: basta risolvere l'istanza e scegliere una delle due istanze codificate. So che non è quello che vuoi, ma puoi specificare più precisamente di cosa si tratta?

— Raffaello

@Raphael L'ultimo paragrafo della mia domanda faceva riferimento a ciò che hai menzionato, dal momento che sì, c'è chiaramente una riduzione non interessante secondo le linee di quello che hai detto. Sto cercando una riduzione più in linea con la riduzione dall'abbinamento al flusso massimo, una trasformazione strutturale che preserva le caratteristiche essenziali. Pensa a qualcosa di simile alle riduzioni fatte per dimostrare la durezza NP piuttosto che la banale riduzione di "risolvere il problema e generare un'istanza".

— templatetypedef

Le riduzioni dei gadget non sono in genere a tempo lineare? Questo è ciò che intendo: cerca di trovare una classe più limitata che ci impedisce di "imbrogliare". (Non è chiaro cosa significhi "preservare le caratteristiche essenziali".)

— Raffaello

Risposte:

Stranamente, tale riduzione non è nota. Tuttavia, in un recente articolo, Madry (FOCS 2013), ha mostrato come ridurre il flusso massimo nei grafici di capacità unitaria (logaritmicamente in molti casi di) matching massimo nei grafici bipartiti. $b$

Nel caso in cui non si abbia familiarità con il massimo problema -matching, si tratta di una generalizzazione della corrispondenza, definita come segue: l'input è un grafico (nel nostro caso, un grafico bipartito), e un insieme di richieste integrali per ciascun vertice, con la richiesta di vertice indicata da . L'obiettivo è trovare un set di spigoli più possibile in modo tale che nessun vertice abbia più di spigoli in incidente su $b$ $G=(V,E)$ $v$ $b_v$ $S$ $v$ $b_v$ $S$ $v$ . È un semplice esercizio per generalizzare la riduzione dall'abbinamento bipartito ai flussi massimi e mostrare una riduzione simile dal bipartite -matching ai flussi massimi. (Uno dei) risultati sorprendenti del documento di Madry è che in un certo senso questi problemi sono equivalenti, dando una semplice riduzione che riduce il flusso massimo nei grafici della capacità unitaria (generalmente, grafici in cui la somma delle capacità, è lineare nel numero di spigoli, ) rispetto a un problema di corrispondenza in un grafico con nodi , vertici e somma delle richieste. $b$ $|u|_1$ $m$ $b$ $O(m)$

Se sei interessato ai dettagli, vedi la sezione 3, fino al Teorema 3.1 e la sezione 4 (e la prova della correttezza nell'Appendice C) della versione di ArXiv del documento di Madry, qui . Se la terminologia non è evidente, vedere la sezione 2.5 per un riepilogo relativo al problema di corrispondenza e tenere presente che è la capacità del bordo nell'istanza di flusso massimo originale. $b$ $u_e$ $e$

— dwajc
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-2

Quindi, ecco un tentativo di rispondere alla tua domanda:

$p\in P$ $q \in Q$ $p\in P$ $q\in Q$ $G_{∗}$ $\infty$ $e \in E$ $f_{x}$ $G_{∗}$ $f_{x}$ $pq \in M$ $G_{∗}$ , la cui dimensione è uguale a quella di un taglio minimo dal teorema Max-Flow Min-Cut. Si consideri un taglio r-s minimo δ (R). Ha una capacità limitata, quindi non contiene arco pq. Quindi ogni fronte di G è incidente con un elemento di C = (P \ R) , cioè C è una copertura. Inoltre, u (C) = | P \ R | + e quindi C è una copertina di dimensioni | M |. $\cup (Q \cap R)$ $|Q \cap R|$

Voglio dire, questo è tutto secondo me che hai posto nella domanda e questa è la mia potenziale risposta :).

— marcincuber
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Nota che puoi usare LaTeX qui per comporre la matematica in un modo più leggibile. Vedi qui per una breve introduzione.

— DW

Puoi chiarire come questo risponde alla domanda? Stai costruendo un algoritmo per risolvere il problema del flusso massimo nei grafici generali, usando un algoritmo per la massima corrispondenza bipartita? In tal caso, qual è l'algoritmo? Sembra che tutto ciò che stai facendo sia mostrare come risolvere il problema del flusso massimo per il caso speciale dei grafici bipartiti nel caso speciale in cui tutte le capacità sono 1 . Ma ovviamente quel problema è banalmente equivalente alla massima corrispondenza, come già spiega la domanda, quindi non vedo come questo aggiunga qualcosa di nuovo. Inoltre non vedo come il teorema di Konig o le copertine dei vertici siano rilevanti.

— DW

La riduzione in questo caso è la chiave per rispondere alla serie di domande. E lo credo esattamente in ciò che @templatetypedef sta cercando. Non credo che la riduzione del tempo polinomiale dal flusso massimo (nei grafici generali) sarebbe diversa. Ci ripenserò e forse aggiungerò qualcosa in più, ma riesco a malapena a capire perché avremmo bisogno di casi diversi per avere una riduzione più generale. Ma punti giusti.

— marcincuber,

Questa è la riduzione del manuale standard DALLA corrispondenza bipartita al flusso massimo. La domanda è chiedere una riduzione nella direzione opposta: dal flusso massimo alla corrispondenza bipartita.

— JeffE,