Provare che la lingua che consiste in tutte le stringhe in una lingua ha la stessa lunghezza di una stringa in un'altra lingua è normale

Quindi mi gratto la testa per questo problema da un paio di giorni. Dato un po 'di lingua$A$ e $B$ che è normale, mostra che la lingua $L$ che consiste di tutte le stringhe in $A$ la cui lunghezza è uguale a una stringa in $B$ è una lingua normale.

In forma di equazione:

Il mio pensiero iniziale era di provare a trovare un po 'di DFA per entrambe le lingue $A$ e $B$ e mappare i due stati tra loro e, auspicabilmente, ottenere un rapporto 1: 1 in questo modo posso generare un nuovo DFA che dimostri che $L$è regolare. Ma poi me ne sono reso conto$A$ e $B$ non devono essere sullo stesso set di simboli.

Penso che il modo corretto di risolverlo sia usare le proprietà di chiusura del linguaggio normale, ma non sono sicuro di come iniziare / usare le proprietà per "lunghezze" delle stringhe invece delle stringhe stesse.

Potrebbe qualcuno indicarmi la giusta direzione?

Ricorda (o trova) la prova per

$\qquad \displaystyle L_1, L_2 \in \mathsf{REG} \implies L_1 \cap L_2 \in \mathsf{REG}$.

Vedi come modificare la prova per la tua impostazione?

Riassumendo l'uguaglianza della cosa delle lunghezze, escogita una costruzione per un automa

$\qquad \displaystyle L_l = \{ w \in \Sigma^* \mid \exists x \in L.\, |x|=|w|\}$

per scontato, arbitrario $L \in \mathsf{REG}$ al di sopra di $\Sigma$.

Vedi la connessione?

Ora notalo $L = A \cap B_l$.

Suggerimenti: supponiamo che tu conosca tutte le diverse lunghezze di parole in$B$, $len(B) = \{ \ell_1, \ell_2, \ell_3, ... \}$. Per il momento, supponiamo che sia finito.

Puoi usare questa conoscenza per costruire un DFA per $A$?
^{(suggerimento: intersezione o costruzione "cross-product")}

Fa l'alfabeto di $B$ importa anche?

Successivamente, potrebbe essere l'insieme di lunghezze $len(B)$è infinito. Quindi guarda questa domanda che dovrebbe risolvere anche quella questione.

Il modo di proprietà di chiusura, quindi nessun automi (esplicito). Le lingue regolari sono chiuse sotto morfismi, morfismi inversi e intersezione (con lingue regolari).

Permettere $\Sigma_A$ e $\Sigma_B$ essere gli alfabeti di $A$ e $B$. Permettere$h_X:\Sigma_X^* \to \{1\}^*$ sia il morfismo che mappa ogni lettera $a\in\Sigma_X$ per $1$. Poi$h_B(B) \subseteq \{1\}^*$ codifica la lunghezza impostata di $B$, e $h_A^{-1}(h_B(B))$ è costituito da (tutte) stringhe della stessa lunghezza delle stringhe in $B$, ma sopra l'alfabeto di $A$. Infine, lo osserviamo$L= A\cap h_A^{-1}(h_B(B))$.

Ora per il bonus . Funziona anche senza contesto $A$ e $B$. Abbiamo bisogno tuttavia di una proprietà aggiuntiva: if$B$ è quindi privo di contesto $h_B(B)$è regolare (!) poiché tutte le lingue "unarie" (= alfabeto a lettera singola) sono regolari, una conseguenza del teorema di Parikh . Così anche$h_A^{-1}(h_B(B))$ è regolare e $L$ è privo di contesto.