Quando un avido algoritmo può risolvere il problema del cambio moneta?

Dato un insieme di monete con diverse denominazioni e un valore v si desidera trovare il numero minimo di monete necessarie per rappresentare il valore v. $c1, ... , cn$

Ad esempio per il set di monete 1,5,10,20 questo dà 2 monete per la somma 6 e 6 monete per la somma 19.

La mia domanda principale è: quando può essere utilizzata una strategia avida per risolvere questo problema?

Punti bonus: questa affermazione è chiaramente errata? (Da: come capire se l'algoritmo goloso è sufficiente per il problema del cambio minimo di monete? )

Tuttavia, questo documento ha una prova che se l'algoritmo avido funziona per il primo valore più grande denom + secondo valore più grande, allora funziona per tutti loro, e suggerisce di usare semplicemente l'algoritmo greedy vs l'algoritmo DP ottimale per verificarlo. http://www.cs.cornell.edu/~kozen/papers/change.pdf

Ps. nota che le risposte in quel thread sono incredibilmente scadenti, ecco perché ho fatto di nuovo la domanda.

algorithms combinatorics greedy-algorithms

— The Unfun Cat
fonte

Per il problema dello zaino binario esiste un criterio facilmente formulato: un algoritmo avido risolve il problema se per tutte le denominazioni

. Non è così facile per il cambio di monete (zaino con variabili integrali arbitrarie). Hai bisogno di un'esposizione di Magazine, Nemhauser e Trotter?

c_{i} > Σ_{j = 1}^{i - 1} c_{j}

$c_i > \Sigma_{j=1}^{i-1} c_j$

— Dmitri Chubarov,

La dichiarazione nel documento di Dexter Kozen afferma che se l'algoritmo avido concorda con l'ottimale per tutti

, allora fornirà una soluzione ottimale per

arbitraria . Non vedo nulla di sbagliato in questa affermazione.

v < c_{n - 1} + c_{n}

$v < c_{n-1} + c_n$

v

$v$

— Dmitri Chubarov,

@Dmitri Chubarov Grazie, ora capisco come funziona il bonus q. È simile alla forte induzione? Per quanto riguarda l'altra tua domanda, vorrei una risposta che dia una soluzione e preferibilmente una prova.

— The Unfun Cat

Valuterò la domanda e se nessuno salta dentro, riassumo MNT con alcuni esempi nel fine settimana.

— Dmitri Chubarov

Vedi anche questa domanda correlata ; in particolare, l' articolo correlato di Shallit potrebbe essere interessante.

— Raffaello

Un sistema di monete è canonico se il numero di monete fornite in cambio dall'algoritmo goloso è ottimale per tutti gli importi.

L'articolo D. Pearson. Un algoritmo al tempo polinomiale per il problema del cambiamento. Operations Reseach Letters, 33 (3): 231-234, 2005 offre un algoritmo per decidere se un sistema di monete è canonico, dove è il numero di diversi tipi di monete. Dall'abstract: $O(n^3)$ $n$

Deriviamo quindi un insieme di valori possibili di che deve contenere il più piccolo controesempio. Ognuno può essere testato con operazioni aritmetiche , dandoci un algoritmo . $O(n^2)$ $O(n)$ $O(n^3)$

Il documento è piuttosto corto.

$c$ $c$

$O(n^2)$ $n$

C'è anche qualche discussione in questa domanda se.math .

— Mark Dominus
fonte

Grazie. Vedo che la domanda è molto più complessa di quanto pensassi - immagino sia per questo che non hai pubblicato i criteri attuali? La mia idea che "se tutte le monete sono multiple l'una dell'altra l'algoritmo avido dà un risultato ottimale" era ovviamente troppo semplice.

— The Unfun Cat,

Non ho pubblicato i criteri attuali perché non mi ricordavo di persona e non avevo tempo di rileggere il giornale. Ovviamente dovresti sentirti libero di modificare la mia risposta.

— Mark Dominus,

Ho letto la risposta e l'articolo un paio di volte, ma non sono riuscito a trovare criteri leggibili dall'uomocanonical coin system . Sarebbe bello se potessi aggiungere un esempio, ad esempio come testare il sistema suggerito1,5,10,20

— Il Padrino,