Una macchina di Turing è "per definizione" la macchina più potente?

Sono d'accordo che una macchina di Turing può fare "tutti i possibili problemi matematici". Questo perché è solo una rappresentazione automatica di un algoritmo: prima fai questo, poi fai quello, infine lo metti in output.

Voglio dire tutto ciò che è risolvibile può essere rappresentato da un algoritmo (perché questa è precisamente la definizione di "risolvibile"). È solo una tautologia. Non ho detto niente di nuovo qui.

E creando una rappresentazione automatica di un algoritmo, che risolverà anche tutti i possibili problemi non è una novità. Anche questa è pura tautologia. Quindi, fondamentalmente, quando si dice che una macchina di Turing è la macchina più potente, ciò che significa effettivamente è che la macchina più potente è la macchina più potente!

Definizione di "più potente": ciò che può accettare qualsiasi lingua.
Definizione di "Algoritmo": processo per fare qualsiasi cosa. Rappresentazione automatica di "Algorithm": una macchina che può fare qualsiasi cosa.

Pertanto è logico che la rappresentazione della macchina di un algoritmo sia la macchina più potente. Qual è la novità di Alan Turing?

Sono d'accordo che una macchina di Turing può fare "tutti i possibili problemi matematici".

Bene, non dovresti, perché non è vero. Ad esempio, le macchine di Turing non sono in grado di determinare se i polinomi con coefficienti interi hanno soluzioni intere ( decimo problema di Hilbert ).

Turing Machine è "per definizione" la macchina più potente?

No. Possiamo immaginare una gerarchia infinita di macchine più potenti . Tuttavia, la macchina di Turing è la macchina più potente che sappiamo, almeno in linea di principio, come costruire. Questa non è una definizione, però: è solo che non abbiamo idea di come costruire qualcosa di più potente, o se è persino possibile.

Qual è la novità di Alan Turing?

Una definizione formale di algoritmo. Senza tale definizione (ad esempio, la macchina di Turing), abbiamo solo definizioni informali di algoritmo, sulla falsariga di "Una procedura finemente specificata per risolvere qualcosa". Ok fantastico. Ma quali sono i singoli passi che queste procedure possono prendere?

Sono passaggi di operazioni aritmetiche di base? Trovare il gradiente di una curva è un passo? Trovare le radici dei polinomi è un passo? Trovare radici intere di polinomi è un passo? Ognuno di questi sembra naturale. Tuttavia, se le consenti tutte, le tue "procedure specificate in modo preciso" sono più potenti delle macchine di Turing, il che significa che possono risolvere cose che non possono essere risolte dagli algoritmi. Se permetti tutto tranne l'ultimo, sei ancora nel regno del calcolo di Turing.

Se non avessimo una definizione formale di algoritmo, non saremmo nemmeno in grado di porre queste domande. Non saremmo in grado di discutere di ciò che gli algoritmi possono fare, perché non sapremmo cosa un algoritmo è .

Non hai ragione quando fai ripetutamente affermazioni su questo o quell'essere "solo una tautologia". Quindi permettimi di mettere le tue affermazioni in un po 'di contesto storico.

Prima di tutto, devi rendere precisi i concetti che usi. Qual è un problema? Che cos'è un algoritmo? Cos'è una macchina? Potresti pensare che siano ovvi, ma una buona parte degli anni 1920 e 1930 fu spesa dai logici che cercavano di capire queste cose. C'erano diverse proposte, una delle quali erano macchine di Turing, che ebbe il maggior successo. In seguito si è scoperto che le altre proposte erano equivalenti alle macchine di Turing. Devi immaginare un'epoca in cui la parola "computer" significava una persona, non una macchina. Stai solo cavalcando l'onda e le conseguenze delle brillanti invenzioni di menti brillanti di cento anni fa, senza esserne consapevole.

Le macchine di Turing sono descritte concretamente in termini di stati, una testa e un nastro di lavoro. È tutt'altro che ovvio che ciò esaurisca le possibilità di calcolo dell'universo in cui viviamo. Non potremmo creare una macchina più potente usando elettricità, acqua o fenomeni quantistici? E se volassimo una macchina di Turing in un buco nero alla giusta velocità e direzione, in modo che possa compiere infiniti passi in quello che ci appare il tempo finito? Non puoi semplicemente dire "ovviamente no" - devi prima fare alcuni calcoli nella relatività generale. E se i fisici scoprissero un modo per comunicare e controllare universi paralleli, in modo da poter far funzionare infinitamente molte macchine di Turing in parallelo?

Essa non importa che al momento non possiamo fare queste cose. Ciò che è importante, tuttavia, è che tu capisca che Turing ha dovuto pensare a ciò che era fisicamente possibile (basato sulla conoscenza della fisica in quel momento). Non ha semplicemente scritto "una semplice tautologia". Lontano da ciò, ha analizzato attentamente il significato del calcolo in senso informale, quindi ha proposto un modello formale, ha argomentato molto attentamente che questo modello cattura ciò che la gente ha capito dal "calcolo", e ne ha tratto alcuni importanti teoremi al riguardo. Uno di questi teoremi afferma che le macchine di Turing non sono in grado di risolvere tutti i problemi matematici (contrariamente a una delle tue false dichiarazioni). Tutto questo, in un unico documento, scritto durante la vaccinazione estiva, mentre era uno studente.fu l'invenzione dell'idea del moderno computer per uso generale. Dopodiché fu solo una semplice questione di ingegneria.

Risponde a ciò che Turing ha contribuito all'umanità al di là di una semplice tautologia? E hai letto davvero il suo giornale ?

Che "tutto ciò che è risolvibile può essere rappresentato da un algoritmo" non è affatto ovvio.

Questo è stato oggetto di un intenso dibattito, da quando Alan Turing, rielaborando le idee della chiesa di Alonzo, ha proposto una definizione di numeri calcolabili che ha preso la forma della macchina a cui ti riferisci. È importante sottolineare che quelle non erano le uniche persone che lavoravano su questo tipo di cose, a quel tempo.

La chiamiamo ancora una tesi - o una congettura - dal momento che "tutto ciò che può essere calcolato" non è chiaramente un preciso oggetto matematico, la cui struttura e portata potrebbero essere studiate in modo non speculativo.

In primo luogo, è importante tenere presente che le macchine Turing sono state inizialmente concepite da Turing non come un modello di qualsiasi tipo di computer fisicamente realizzabile, ma piuttosto come un limite ideale a ciò che è calcolabile da un umano calcolando in modo meccanico passo-passo modo (senza alcun uso di intuizione). Questo punto è ampiamente frainteso - vedi [1] per un'eccellente esposizione su questo e argomenti correlati.

I limiti di finitezza postulati da Turing per le sue macchine di Turing si basano sui limiti postulati dell'apparato sensoriale umano. Le generalizzazioni delle analisi di Turing a dispositivi di calcolo fisicamente realizzabili (e analoghe tesi di Church-Turing) non arrivarono molto più tardi (1980) a causa di Robin Gandy - con limitazioni basate sulle leggi della fisica. Come dice Odifreddi a p. 51 di [2] (bibbia della teoria della ricorsione classica)

Le macchine di Turing sono dispositivi teorici, ma sono state progettate tenendo conto delle limitazioni fisiche. In particolare, abbiamo incorporato nel nostro modello restrizioni provenienti da:

• a) ATOMISMO, assicurando che la quantità di informazioni che può essere codificata in qualsiasi configurazione della macchina (come sistema finito) sia limitata; e

• (b) RELATIVITÀ, escludendo le azioni a distanza e facendo propagare l'effetto causale attraverso le interazioni locali. Gandy [1980] ha dimostrato che la nozione di macchina di Turing è sufficientemente generale per riassumere, in senso preciso, qualsiasi dispositivo di elaborazione che soddisfi limiti simili.

e a p. 107: (Una teoria generale dei dispositivi discreti e deterministici)

L'analisi (Church [1957], Kolmogorov e Uspenskii [1958], Gandy [1980]) parte dai presupposti di atomismo e relatività. Il primo riduce la struttura della materia a un insieme finito di particelle di base di dimensioni limitate, e quindi giustifica la possibilità teorica di smantellare una macchina in un insieme di componenti di base. Quest'ultimo impone un limite superiore (la velocità della luce) sulla velocità di propagazione dei cambiamenti causali, e quindi giustifica la possibilità teorica di ridurre l'effetto causale prodotto in un istante t su una regione delimitata dello spazio V, alle azioni prodotte dalle regioni i cui punti si trovano a distanza c * t da qualche punto V. Naturalmente, le ipotesi non tengono conto dei sistemi che sono continui o che consentono un'azione illimitata a distanza (come i sistemi gravitazionali newtoniani).

L'analisi di Gandy mostra che IL COMPORTAMENTO È RICORRENTE, PER QUALSIASI DISPOSITIVO CON UN LIMITE FISSO SULLA COMPLESSITÀ DELLE POSSIBILI CONFIGURAZIONI (nel senso che sia i livelli di accumulo concettuale dai costituenti, sia il numero di costituenti in qualsiasi parte strutturata di qualsiasi configurazione, sono limitati), E FISSI FINITI, SET DETERMINISTICI DI ISTRUZIONI PER L'AZIONE LOCALE E GLOBALE (il primo spiega come determinare l'effetto di un'azione su parti strutturate, il secondo come assemblare gli effetti locali). Inoltre, l'analisi è ottimale nel senso che, quando resa precisa, qualsiasi rilassamento delle condizioni diventa compatibile con qualsiasi comportamento, e fornisce quindi una descrizione sufficiente e necessaria del comportamento ricorsivo.

L'analisi di Gandy offre una prospettiva molto illuminante sulla potenza e sui limiti delle macchine di Turing. Vale la pena leggere per ottenere ulteriori approfondimenti su questi argomenti. Attenzione però che il documento di Gandy del 1980 [3] è considerato difficile anche da alcuni cognoscenti. Potresti trovare utile esaminare prima gli articoli in [4] di J. Shepherdson e A. Makowsky.

[1] Sieg, Wilfried. Procedure meccaniche ed esperienza matematica. [pagg. 71-117 in Matematica e Mente. Articoli della Conferenza sulla filosofia della matematica tenutasi all'Amherst College, Amherst, Massachusetts, 5-7 aprile 1991. A cura di Alexander George. Logic Comput. Philos., Oxford Univ. Stampa, New York, 1994. ISBN: 0-19-507929-9 MR 96m: 00006 (Revisore: Stewart Shapiro) 00A30 (01A60 03A05 03D20)

[2] Odifreddi, Piergiorgio. Teoria della ricorsione classica. La teoria delle funzioni e degli insiemi di numeri naturali. Con una prefazione di GE Sacks. Studies in Logic and the Foundations of Mathematics, 125. North-Holland Publishing Co., Amsterdam-New York, 1989. xviii + 668 pp. ISBN: 0-444-87295-7 MR 90d: 03072 (Revisore: Rodney G. Downey ) 03Dxx (03-02 03E15 03E45 03F30 68Q05)

[3] Gandy, Robin. Tesi e principi della Chiesa sui meccanismi. Il simposio di Kleene. Atti del simposio tenuto presso l'Università del Wisconsin, Madison, Wis., 18-24 giugno 1978. A cura di Jon Barwise, H. Jerome Keisler e Kenneth Kunen. Studies in Logic and the Foundations of Mathematics, 101. North-Holland Publishing Co., Amsterdam-New York, 1980. xx + 425 pp. ISBN: 0-444-85345-6 MR 82h: 03036 (Revisore: Douglas Cenzer) 03D10 (03A05)

[4] La macchina di Turing universale: un'indagine di mezzo secolo. Seconda edizione. A cura di Rolf Herken. Computerkultur [Cultura del computer], II. Springer-Verlag, Vienna, 1995. xvi + 611 pp. ISBN: 3-211-82637-8 MR 96j: 03005 03-06 (01A60 03D10 03D15 68-06)

La migliore discussione popolare su questa domanda che io abbia mai letto è il saggio del professor Scott Aaronson del professor MIT Who Can Name the Bigger Number? , in cui esplora, tra le altre cose, le implicazioni delle macchine super-Turing, delle macchine super-duper-Turing e delle macchine super-duper-pooper-Turing.

No, le TM non sono molto potenti. Due esempi:

a) Potrebbero esserci altre macchine che calcolano gli stessi risultati di una TM ma che sono algoritmicamente più veloci (ad es. computer quantistici che calcolano fattori primi). "Più veloce" è un tipo di potere.

b) Le TM non possono rappresentare numeri reali generali con una precisione perfetta. Ma un Analog Computer (AC) potrebbe essere in grado di rappresentare e fare aritmetica con numeri reali con precisione perfetta. Questo sarebbe più potente di qualsiasi TM.

Naturalmente (b) richiede che il nostro universo abbia alcune proprietà continue (gravità?) Che la CA può usare per rappresentare i valori reali. Forse ogni proprietà fisica, compresa la gravità, è quantizzata. Ma possiamo speculare sulle macchine in un universo continuo. Quindi le TM non sono più potenti "per definizione".

Se guardi alla complessità computazionale, una macchina di Turing è la macchina più potente, perché ha memoria illimitata e nessuna macchina reale ha quella. Qualsiasi macchina reale non può risolvere problemi di dimensioni arbitrarie; non sanno nemmeno leggere un problema, tanto meno risolverlo.

D'altra parte, se si tenta di implementare una vera Turing Machine, supponiamo che si arresti e suoni un allarme se si esaurisce il nastro, si scoprirà che ci vorrebbe molti più passaggi per eseguire qualsiasi tipo di calcolo che diciamo la vera macchina in un telefono economico, e sarebbe molto più lento a risolvere problemi reali. Scopriresti anche che scrivere una risposta su un nastro non è un'ottima interfaccia utente. E scopriresti che molte persone usano il computer non per risolvere i problemi, ma per inviare foto di nudo ai loro amici e per guardare video di gatti, e una Turing Machine non è affatto utile per questo.