Il calcolo lambda non sembrava astratto. E non riesco a capire il punto

La domanda di fondo:

Cosa fa per noi il calcolo lambda che non possiamo fare con le proprietà della funzione di base e la notazione generalmente apprese dall'algebra della scuola media?

Prima di tutto, cosa significa astratto nel contesto del calcolo lambda? La mia comprensione della parola astratto è qualcosa che è separato dal macchinario, il riassunto concettuale di un concetto.

Tuttavia, le funzioni lambda, eliminando i nomi delle funzioni, impediscono un certo livello di astrazione. Per esempio:

f(x) = x + 2
h(x, y) = x + 5 y

Ma anche senza definire il meccanismo di queste funzioni, possiamo facilmente parlare della loro composizione. Per esempio:

1. h(x, y) . f(x) . f(x) . h(x, y) or 
2. h . f . f . h

Possiamo includere gli argomenti se vogliamo, oppure possiamo astrarre completamente per dare una visione d'insieme di ciò che sta accadendo. E possiamo ridurli rapidamente a una singola funzione. Diamo un'occhiata alla composizione 2. Posso avere livelli di dettaglio degli studenti con cui posso scrivere a seconda della mia enfasi:

g = h . f . f . h
g(x, y) = h(x, y) . f(x) . f(x) . h(x, y)
g(x, y) = h . f . f . h = x + 10 y + 4

Eseguiamo quanto sopra con il calcolo lambda, o almeno definiamo le funzioni. Non sono sicuro che sia giusto, ma credo che la prima e la seconda espressione aumentino di 2.

(λuv.u(u(uv)))(λwyx.y(wyx))x

E da moltiplicare per 5y.

(λz.y(5z))

Piuttosto che essere astratto, questo sembra entrare nel meccanismo stesso di ciò che significa aggiungere, moltiplicare, ecc. L'astrazione, nella mia mente, significa livello superiore piuttosto che livello inferiore.

Inoltre, faccio fatica a capire perché il calcolo lambda sia persino una cosa. Qual è il vantaggio di

(λuv.u(u(uv)))(λwyx.y(wyx))x

al di sopra di

h(x) = x + 5 y

o una notazione combinata

Hxy.x+5y

o persino la notazione di Haskell

h x y = x + 5 * y

Ancora una volta, cosa fa per noi il calcolo lambda che non possiamo fare con le proprietà e la notazione della funzione stile f (x) che molti hanno familiarità.

Ci sono molte ragioni per cui il calcolo lambda è così importante.

Una ragione molto importante è che il calcolo lambda ci consente di avere un modello di calcolo in cui le funzioni calcolabili sono cittadini di prima classe.

Non si possono esprimere funzioni di ordine superiore nella lingua dell'algebra della scuola media.

Prendi come esempio l'espressione lambda

Questa semplice espressione ci mostra che, all'interno del calcolo lambda, la composizione della funzione è essa stessa una funzione. Nell'algebra della scuola media, questo non si esprime facilmente.

Nel calcolo lambda, è molto facile esprimere che una funzione restituirà una funzione come risultato.

Ecco un piccolo esempio. L'espressione (dove qui assumo un calcolo lambda applicato con addizione e costanti intere)

ridurrà a

Si noti inoltre che all'interno del calcolo lambda, le funzioni sono espressioni e non definizioni della forma . Questo ci libera dalla necessità di nominare le funzioni e di distinguere tra una categoria sintattica di espressioni e una categoria sintattica di definizioni.$f(x) = e$

Inoltre, quando diventa impossibile (o semplicemente notoriamente ingombrante) esprimere funzioni di ordine superiore, si avranno anche problemi nell'assegnare i tipi alle espressioni.

La composizione della funzione ha il tipo polimorfico

nel sistema di tipo Hindley-Milner.

Un punto di forza molto forte per il calcolo lambda è la nozione di calcolo lambda tipizzato . I vari sistemi di tipi per linguaggi di programmazione funzionale come Haskell e la famiglia ML si basano su sistemi di tipi per i calcoli lambda e questi sistemi di tipi offrono forti garanzie sotto forma di teoremi matematici:

Se un programma è ben digitato ed e si riduce alla e ′ residua , allora anche e ′ sarà ben digitata.$e$$e$$e'$$e'$

E se 'ben digitato-, allora e non sarà esporrà alcuni errori.$e$$e$

Le prove come corrispondenza dei programmi sono particolarmente degne di nota. L'isomorfismo di Curry-Howard (vedi ad esempio https://www.rocq.inria.fr/semdoc/Presentations/20150217_PierreMariePedrot.pdf ) mostra che esiste una corrispondenza molto precisa tra il calcolo lambda tipicamente digitato e la logica proposizionale intuitiva: per ogni tipo corrisponde una formula logica φ T . Una prova di Phi T corrisponde a un termine lambda di tipo T , e un beta-riduzione di questo corrisponde termine per l'esecuzione di un taglio eliminazione nella prova.$T$$\phi_T$$\phi_T$$T$

Esorto coloro che ritengono che l'algebra della scuola media sia una buona alternativa al calcolo lambda per sviluppare un resoconto dell'algebra della scuola media di ordine superiore tipicamente polimorficamente insieme a una nozione appropriata di isomorfismo di Curry-Howard. Se riuscissi persino a elaborare un assistente di prova interattivo basato sull'algebra della scuola media che ci consentirebbe di provare i numerosi teoremi che sono stati formalizzati usando assistenti di correzione basati su calcoli lambda come Coq e Isabelle, sarebbe ancora meglio. Vorrei quindi iniziare a utilizzare l'algebra della scuola media e quindi, ne sono certo, molti altri con me.

Quando le funzioni vengono descritte per la prima volta ai giovani, vengono essenzialmente identificate con grafici (grafici), o forse con formule; questo è il modo in cui le funzioni sono state comprese storicamente prima dell'avvento delle tendenze formaliste in matematica. Al giorno d'oggi le funzioni, come insegnato nel primo calcolo anno, sono funzioni reali, cioè, le funzioni da a R .$\mathbb{R}$$\mathbb{R}$

Le funzioni nel calcolo lambda sono molto più generali. La definizione esatta dipende dal fatto che il tuo calcolo lambda sia digitato o non tipizzato. Nel puro calcolo lambda non tipizzato tutto è una funzione. Questo è molto più generale delle reali funzioni del calcolo.

Anche i linguaggi procedurali a volte usano idee tratte dal calcolo lambda. La funzione di ordinamento in C accetta come parametro una funzione di confronto , che utilizza per confrontare gli elementi. Il calcolo lambda va molto oltre: le funzioni non solo accettano funzioni come input, ma possono anche emetterle.

Il calcolo lambda è un modello di calcolo equivalente in potenza alle macchine di Turing. È un sistema completo per se stesso. Il calcolo lambda puro non ha "5" o "+" come termini primitivi - possono essere definiti all'interno del calcolo, proprio come "5" e "+" non sono primitivi della teoria degli insiemi. (I linguaggi di programmazione pratica implementano i numeri naturali in modo nativo per motivi di efficienza.)

Ho il sospetto che uno dei motivi per cui non sei impressionato dal calcolo lambda è che le sue idee hanno pervaso così tanto il discorso di programmazione da non sembrare più innovativo.

$x^2$$x$$x^2$

$\lambda x.x^2$$x^2$

$f$$f(x) = x^2$$f$

L'uso delle espressioni lambda nei linguaggi di programmazione ha un vantaggio simile; puoi scrivere ciò che la funzione fa proprio lì dove è necessario piuttosto che dover definire una funzione completamente nuova altrove nel tuo programma.

$\frac{d}{dx} x^2$$\frac{d}{dx}$$x^2$

$\theta : V \to V^{**}$

Molte persone trovano questa notazione a doppia valutazione confusa e / o inquietante, così come questo uso ricorsivo della definizione puntuale di una funzione. La versione di astrazione lambda

non ha questo problema.

Infine, c'è un teorema di assurdità astratte che "il semplice calcolo lambda tipizzato" è sostanzialmente la stessa cosa della "categoria chiusa cartesiana" - quindi se ti capita di voler fare calcoli in una categoria chiusa cartesiana, è probabilmente una buona idea usare semplicemente digitato lambda calcolo per farlo.

Dirò in anticipo che non sono un esperto di questo argomento, ma ho trascorso solo un po 'di tempo a studiarlo e una delle cose più affascinanti per me in qualsiasi argomento è la storia dietro di esso. Quindi per me capire un po 'della storia dietro il calcolo lambda aiuta a spiegare perché è utile.

Il breve riassunto è che nei primi anni del 1900 dopo che la teoria degli insiemi ha iniziato a decollare e la matematica è stata ripensata in base agli insiemi, alcuni matematici hanno notato che mentre una definizione di teoria degli insiemi ti consente di affermare che esiste una certa struttura, non ti dicono come per costruirlo e calcolarlo. Quindi le definizioni teoriche impostate non sono costruttive . I matematici iniziarono a chiedersi se esistesse un modo per sviluppare definizioni costruttive che andassero oltre la dimostrazione che qualcosa è e invece dimostrano come è .

Da Wikipedia :

In matematica, una dimostrazione costruttiva è un metodo di dimostrazione che dimostra l'esistenza di un oggetto matematico creando o fornendo un metodo per creare l'oggetto. Ciò è in contrasto con una dimostrazione non costruttiva (nota anche come teorema di esistenza o pura esistenza) che dimostra l'esistenza di un particolare tipo di oggetto senza fornire un esempio.

$*$

È stato quindi dimostrato che il calcolo lambda e la macchina di Turing potevano entrambi rappresentare qualsiasi funzione calcolabile e sono quindi equivalenti.

In teoria, qualsiasi funzione o concetto matematico può essere codificato in forma di calcolo lambda e calcolato. Ciò significa che il calcolo lambda può essere una base completamente separata per la matematica, sebbene ovviamente estremamente noiosa.

Il calcolo lambda non è "utile", nel senso che non hai intenzione di scrivere codice utilizzandolo, ma costituisce la base per la semantica denotazionale che viene utilizzata per descrivere i programmi e i loro effetti dinamici. Questo è usato nelle discussioni sulla correttezza del programma e sul significato semantico. Ovviamente ha anche fortemente influenzato lo sviluppo di linguaggi di programmazione funzionale, che traggono il loro intero concetto di esecuzione dal calcolo lambda.

Spero possa aiutare.

Modifica da aggiungere: mi è stato appena indicato questo documento che mostra la relazione tra topologia, calcolo lambda e fisica. Sfogliandolo brevemente mi sono imbattuto in questa fantastica affermazione:

Mentre una macchina di Turing può essere vista come un modello idealizzato e semplificato di hardware per computer , il calcolo lambda è più simile a un semplice modello di software . ... Poeticamente parlando, il calcolo lambda descrive un universo in cui tutto è un programma e tutto è dato: i programmi sono dati .

Il punto è che il calcolo lambda è un modello idealizzato di calcolo del software e come tale non è legato a una particolare implementazione in alcun linguaggio di programmazione. Modella il calcolo puro .

$\lambda$

Il calcolo lambda non è stato progettato per essere un linguaggio di programmazione. In effetti, è stato creato negli anni '30, decenni prima ancora che avessimo persino dei computer programmabili. Piuttosto, è stato creato come modello formale per lo studio del calcolo, in sé. Se sei deluso dalla facilità con cui esprime il codice o le funzioni matematiche, è perché non è quello che serve.

Il calcolo Lambda esiste in modo da poter creare funzioni anonime (ovvero lambda). Se non si eliminano i nomi delle funzioni, lo spazio dei nomi può essere ingombra e si possono esaurire i nomi delle funzioni disponibili. Ciò è particolarmente importante quando si ha a che fare con le cosiddette "funzioni di ordine superiore" che restituiscono funzioni (o puntatori a funzioni) per ovvie ragioni.

In sostanza, le funzioni lambda sono equivalenti a variabili con ambito locale. La programmazione funzionale senza funzioni lambda è analoga alla programmazione procedurale senza variabili locali, vale a dire un'idea terribile.

"perché il calcolo lambda è persino una cosa" i matematici adorano la ridondanza. Il calcolo lambda viene usato raramente in matematica perché, come hai scoperto, la notazione non è molto utile.

"Se riuscissi persino a elaborare un assistente di correzione interattivo basato sull'algebra della scuola media che ci consentirebbe di provare i numerosi teoremi che sono stati formalizzati usando assistenti di correzione basati sul calcolo lambda come Coq e Isabelle, sarebbe ancora meglio. poi inizia a usare l'algebra della scuola media e quindi, ne sono certo, molti altri con me ". Hai sentito parlare di metamath? Nessun calcolo lambda coinvolto lì, può dimostrare molti dei teoremi di coq / isabelle