Congetture matematiche equivalenti all'arresto di una macchina di Turing

Questa domanda riguarda se ogni teorema matematico può essere ridotto alla domanda se una singola macchina di Turing si ferma. In particolare, sono interessato a congetture attualmente non dimostrate.

Ad esempio: Wikipedia afferma che al momento non è noto se ci siano numeri dispari perfetti. Poiché è determinabile se un determinato numero è perfetto, si potrebbe scrivere una macchina di Turing che controlla a turno ogni numero dispari e si ferma se ne trova uno perfetto. (Questa macchina di Turing non accetta alcun input.) Se sapessimo se quella macchina di Turing si ferma, allora sapremmo se la congettura è vera e viceversa.

Tuttavia, come altro esempio, che dire delle congetture sui numeri primi gemelli ? È determinabile se un determinato numero è il primo numero primo in una doppia coppia, ma in questo caso non possiamo fermarci quando troviamo il primo, perché la domanda è se esiste un numero infinito. Non mi è chiaro se sia possibile realizzare una macchina di Turing che si ferma se e solo se la congettura dei numeri primi gemelli è vera.

Possiamo sicuramente fare una macchina di Turing che si ferma se e solo se la congettura dei primi gemelli è dimostrabile nell'aritmetica di Peano o in qualche altro sistema formale, ma questa è una domanda diversa, dal momento che potrebbe essere vera ma non dimostrabile nel particolare sistema che scegliamo.

Quindi le mie domande sono

• È possibile realizzare una macchina di Turing che si ferma se e solo se la congettura dei numeri primi gemelli è vera? (E se sì, come?)
• È possibile, in generale, realizzare una macchina di Turing che si ferma se e solo se una determinata affermazione matematica è vera? Questa macchina di Turing può essere costruita algoritmicamente dall'affermazione formale?
• Se non è possibile in generale, c'è un modo per classificare le affermazioni matematiche in se equivalgono all'arresto di una singola macchina di Turing o di una macchina di turing con un oracolo , ecc.? In tal caso, questa classificazione è decidibile per una determinata affermazione?

Alla tua domanda risponde la gerarchia aritmetica . L'esistenza di un numero perfetto dispari è un'istruzione , quindi è possibile verificarlo utilizzando una macchina Σ 1 , che si interrompe se l'affermazione è vera. La congettura del numero primo gemello è un'istruzione Π 2 , quindi puoi costruire una TM con accesso all'oracolo che si ferma se l'istruzione è falsa.$\Sigma_1$$\Sigma_1$$\Pi_2$

In senso logico rigoroso, puoi sempre creare una macchina di Turing che ferma l'istruzione iff contiene:$\phi$

1. Se regge, prendi una macchina che si ferma.$\phi$
2. Se non regge, prendi una macchina che non si ferma.$\phi$

Per vedere che questa costruzione è valida, considera la forma logica della tua dichiarazione:

Puoi chiarire questa confusione ponendo una domanda leggermente diversa:

Che cosa è un insieme di dichiarazioni tale che esiste una macchina di Turing che si ferma su ϕ ∈ Φ sef ϕ è valido?$\Phi$$\phi \in \Phi$$\phi$

Sopra ho indicato che dichiarazioni costituiscono un tale insieme.$\Sigma_1$

$f(1)=2$$f(2)=4$$f(n+1)=f(n)!$$n \geq 2$$n$$\Theta_n$

$x_1,\ldots,x_n$$1$$(x_1,\ldots,x_n)$$\min(x_1,\ldots,x_n) \leq f(n)$$\Theta_1,\ldots,\Theta_{16}$

$\Theta_{16}$$f(16)+3$$W \subseteq \mathbb{N}$$W$$W$$W$

$\Theta_{16}$$0'$