Come è questa grammatica LL (1)?

Questa è una domanda dal Libro del Drago. Questa è la grammatica:

$S \to AaAb \mid BbBa$
$A \to \varepsilon$
$B \to \varepsilon$

La domanda chiede come mostrare che è LL (1) ma non SLR (1).

Per dimostrare che è LL (1), ho provato a costruire la sua tabella di analisi, ma sto ottenendo più produzioni in una cella, il che è contraddizione.

Si prega di dire come è questo LL (1) e come dimostrarlo?

Innanzitutto, diamo un numero alle tue produzioni.

1 2 S → B b B a 3 A → ε 4 B → $S \to AaAb$
$S \to BbBa$
$A \to \varepsilon$
$B \to \varepsilon$

Calcoliamo il primo e seguiamo prima i set. Per piccoli esempi come questi, è sufficiente usare l'intuizione su questi insiemi.

$$\mathsf{FIRST}(S) = \{a, b\}\\ \mathsf{FIRST}(A) = \{\}\\ \mathsf{FIRST}(B) = \{\}\\ \mathsf{FOLLOW}(A) = \{a, b\}\\ \mathsf{FOLLOW}(B) = \{a, b\}$$

Ora calcoliamo la tabella . Per definizione, se non otteniamo conflitti, la grammatica è L L ( 1 ) .$LL(1)$$LL(1)$

    a | b |
-----------
S | 1 | 2 |
A | 3 | 3 |
B | 4 | 4 |

Poiché non ci sono conflitti, la grammatica è .$LL(1)$

Ora per la tabella . Innanzitutto, l' automa L R ( 0 ) .$SLR(1)$$LR(0)$

$$\mbox{state 0}\\ S \to \bullet AaAb\\ S \to \bullet BbBa\\ A \to \bullet\\ B \to \bullet\\ A \implies 1\\ B \implies 5\\ $$ $$\mbox{state 1}\\ S \to A \bullet aAb\\ a \implies 2\\ $$ $$\mbox{state 2}\\ S \to Aa \bullet Ab\\ A \to \bullet\\ A \implies 3\\ $$ $$\mbox{state 3}\\ S \to AaA \bullet b\\ b \implies 4\\ $$ $$\mbox{state 4}\\ S \to AaAb \bullet b\\ $$ $$\mbox{state 5}\\ S \to B \bullet bBa\\ b \implies 6\\ $$ $$\mbox{state 6}\\ S \to Bb \bullet Ba\\ B \to \bullet\\ B \implies 7\\ $$ $$\mbox{state 7}\\ S \to BbB \bullet a \\ a \implies 8\\ $$ $$\mbox{state 8}\\ S \to BbBa \bullet \\ $$

E poi la tabella (suppongo che S possa essere seguito da qualsiasi cosa).$SLR(1)$$S$

    a     | b     | A | B |
---------------------------
0 | R3/R4 | R3/R4 | 1 | 5 |
1 | S2    |       |   |   |
2 | R3    | R3    | 3 |   |
3 |       | S4    |   |   |
4 | R1    | R1    |   |   |
5 |       | S4    |   |   |
6 | R4    | R4    |   | 7 |
7 | S8    |       |   |   |
8 | R2    | R2    |   |   |

Ci sono conflitti nello stato 0, quindi la grammatica non è . Si noti che se si utilizzasse L A L R ( 1 ) , entrambi i conflitti verrebbero risolti correttamente: nello stato 0 su lookahead un L A L R ( 1 ) prenderebbe R3 e su lookahead b richiederebbe R4.$SLR(1)$$LALR(1)$$a$ $LALR(1)$$b$

$LL(1)$$LALR(1)$

Se non viene richiesto, non è necessario costruire la tabella LL (1) per dimostrare che si tratta di una grammatica LL (1). Devi solo calcolare i set FIRST / FOLLOW come ha fatto Alex:

$\qquad \begin{align} \operatorname{FIRST}(S)&={a,b} \\ \operatorname{FIRST}(A)&={ε} \\ \operatorname{FIRST}(B)&={ε} \\ \operatorname{FOLLOW}(A)&={a,b} \\ \operatorname{FOLLOW}(B)&={a,b} \end{align}$

E poi, per definizione, una grammatica LL (1) deve:

1. $A \Rightarrow a$$A \Rightarrow b$$\operatorname{FIRST}(a) \cap \operatorname{FIRST}(b) = \emptyset$
2. $A$$Α \Rightarrow^* ε$$\operatorname{FIRST}(A) \cap \operatorname{FOLLOW}(A) = \emptyset$

Quindi, per la grammatica data:

1. $\operatorname{FIRST}(AaAb) \cap \operatorname{FIRST}(BbBa) = \emptyset$$\operatorname{FIRST}(AaAb) = \{a\}$$\operatorname{FIRST}(BbBa) = \{b\}$
2. $\operatorname{FIRST}(A) \cap \operatorname{FOLLOW}A) = \emptyset$$\operatorname{FIRST}(A) = \{a,b\}$$\operatorname{FOLLOW}(A) = \emptyset$$\operatorname{FIRST}(B) \cap \operatorname{FOLLOW}(B) = \emptyset$$\operatorname{FIRST}(B) = \{ε\}$$\operatorname{FOLLOW}(B) = \{a,b\}$

Per quanto riguarda l'analisi SLR (1) penso che sia impeccabile!

Cerca una condizione sufficiente che crei una grammatica LL (1) (suggerimento: guarda i PRIMI set).

Cerca una condizione necessaria che tutte le grammatiche SLR (1) devono soddisfare (suggerimento: guarda i seguenti insiemi).