Quanti spigoli può avere un grafico unipatico?

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Un grafico unipatico è un grafico diretto in modo tale che vi sia al massimo un percorso semplice da un vertice a qualsiasi altro vertice.

I grafici unipatici possono avere cicli. Ad esempio, un elenco doppiamente collegato (non circolare!) È un grafico unipatico; se l'elenco ha elementi, il grafico ha cicli di lunghezza 2, per un totale di . $n$ $n-1$ $2(n-1)$

Qual è il numero massimo di spigoli in un grafico unipatico con vertici? Un limite asintotico farebbe (es. o ). $n$ $O(n)$ $\Theta(n^2)$

_{Ispirato da Trova percorsi più brevi in un grafico unipatico ponderato ; nella mia prova , inizialmente volevo affermare che il numero di spigoli era ma poi mi resi conto che limitare il numero di cicli era sufficiente. $O(n)$}

graphs combinatorics

— Gilles 'SO- smetti di essere malvagio'
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Bella domanda Dovremmo cercare di migliorare il limite inferiore o il limite superiore :).

— RB

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Un grafico unipathic può avere bordi. C'è una sorta noto il grafico che è unipathic e ha bordi. $\Theta(n^2)$ $n^2/4$

Considera un grafico bipartito completo, con bordi orientati . Questo grafico è unipatico e non ha ciclo: tutti i suoi percorsi hanno lunghezza . Ha vertici e bordi. $\forall (i,j) \in [1,m]^2, a_i \rightarrow b_j$ $1$ $2m$ $m^2$

_{(Domanda di follow-up: questo rapporto è massimo? Probabilmente no, ma non ho un altro esempio. Questo esempio è massimo nel senso che un vantaggio aggiunto tra nodi esistenti romperà la proprietà unipatica.)}

— Gilles 'SO- smetti di essere malvagio'
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"Qualunque bordo aggiunto tra nodi esistenti romperà la proprietà unipatica" In che modo l'aggiunta del bordo

spezza la proprietà?

b_{1} \to a_{1}

$b_1 \rightarrow a_1$

— mitchus,

@mitchus

a_{2} \to b_{1} \to a_{1} \to b_{2}

$a_2 \rightarrow b_1 \rightarrow a_1 \rightarrow b_2$

— Gilles 'SO- smetti di essere malvagio'

1

Immagino che la mia mente fosse in qualche modo unipatica quel giorno :) Per quanto riguarda la massima, il rapporto potrebbe andare a 1/4 per

grande , ma per

l'elenco doppiamente collegato ha più bordi di

.

n

$n$

n \in {2, 3, 4, 5, 6}

$n \in \{2,3,4,5,6\}$

n^{2} / 4

$n^2/4$

— mitchus,

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Non so se esiste un grafico unipatico su più di bordi, ma ecco un argomento che mostra che non più di $\frac{n^2}{4}$ Sono possibilibordi: $\frac{n^2}{2}+3$

Supponiamo per contraddizione che sia un grafico unipatico tale che $G=(V,E)$ . $|E|\geq \frac{n^2}{2}+3$

Dal principio dei cassetti, esistono tale che $v\in V$

d_{in} (v) \geq \frac{n}{2} + 1

$d_{\text{in}}(v)\geq \frac{n}{2}+1$

Indica $U=\{u\in V\mid (u,v)\in E\}$

Nota che se c'era un vertice tale che $x\in V\setminus \{v\}$

\exists u_{1} \neq u_{2} \in U : (x, u_{1}), (x, u_{2}) \in E

$\exists u_1\neq u_2\in U:(x,u_1),(x,u_2)\in E$

Quindi il grafico non sarebbe unipatico (poiché e sono entrambi percorsi validi). $(x\to u_1\to v)$ $(x\to u_2\to v)$

Ciò significa che (aggiungendo i bordi da ): $\{v\}\times U$

| E \cap (V \times U) | \leq 2 | U |

$|E\cap (V\times U)|\leq2|U|$

$U$

| E | = | E \cap (V \times U) | + | E \cap (V \times (V ∖ U)) |

$|E|=|E\cap (V\times U)|+|E\cap (V\times (V\setminus U))|$

\leq 2 | U | + n | V ∖ U | \leq 2 (\frac{n}{2} + 1) + n (\frac{n}{2} - 1) < \frac{n^{2}}{2} + 3

$\leq 2|U|+n|V\setminus U|\leq 2(\frac{n}{2}+1)+n(\frac{n}{2}-1)<\frac{n^2}{2}+3$

$\square$

— RB
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