Ogni grafico non diretto semplice con più di bordi è collegato

Se un grafico con vertici ha più di bordi, allora è connesso.$n$$\frac{(n-1)(n-2)}{2}$

Sono un po 'confuso su questa domanda, poiché posso sempre dimostrare che per un grafico collegato hai bisogno di più di bordi.$|E|>n-1$

Non sono sicuro di ciò che ti disturba, ma a mio avviso sei confuso riguardo ai seguenti due fatti

1. Se è collegato un grafico, allora$e \geq n-1.$

2. Se un grafico ha più di allora è collegato.$e > \frac{(n-1)(n-2)}{2}$

Si noti che le implicazioni in 1 e 2 sono in direzioni opposte.

Per una prova di 2. puoi dare un'occhiata a questo link .

Penso che il tuo problema potrebbe essere quello di dimostrare che non puoi costruire un grafico non indirizzato con bordi non connessi. Ci stai pensando nel modo sbagliato. La formula su quanti spigoli puoi usare per connettere tutti i vertici.$\dfrac{(n-1)(n-2)}{2}$$E = n - 1$

Immagina di essere un avversario che cerca di progettare un orribile sistema autostradale in modo che una città sia sconnessa. Non importa quanto inefficientemente passi le tue strade, dovrai comunque collegare tutte le città se ci sono così tante strade.

Considera quale potrebbe essere il peggior progetto possibile, ad esempio quello che utilizza il maggior numero di strade possibile ma lascia comunque scollegata una città. Quanti bordi ha? Cosa succede quando aggiungi un ulteriore vantaggio a quello?

1.Come hai menzionato, abbiamo:

$G\text{ is connected} \Rightarrow |V|-1 \le |E|$

Ma l'altra direzione non è vera, cioè:

$G\text{ is connected} \Leftrightarrow |V|-1 \le |E|$

è un'affermazione sbagliata.

Quindi non puoi usarlo per ulteriori ragionamenti. L'esempio del contatore di esempio è questo grafico ( è un grafico completo sui vertici e significa unione disgiunta dei grafici):$K_t$$t$$\cup$

$G = K_{n-1} \cup K_1$

$G$ ha bordi e nodi e per .$n-1\choose 2$$n$${n-1\choose 2} > n-1$$n>4$

2. D'altra parte, per dimostrare che:

${|V|-1 \choose 2} < |E| \Rightarrow G\text{ is connected}$

Possiamo farlo come segue:

Supponiamo di no, quindi è l'unione disgiunta di due grafici , con , se colleghiamo tutti i vertici di per creare il grafico , allora (perché ha al massimo bordi grafici completi) ma:$G$$G=G_1\cup G_2$$|G_1| = k, |G_2| = n-k, 0<k<n$$G_1,G_2$$G"$$|E_{G"}|\le {n \choose 2}$$G"$

${n-1 \choose 2} + 1 + k\cdot (n-k) \le |E_{G"}| \le {n \choose 2} \Rightarrow$

$(k-1)(n-k-1) + 1 \le 0\Rightarrow$ Contraddestrati da destra con .$0<k<n$

Il grafico G ha n nodi n = (n-1) +1 Un grafico da disconnettere dovrebbe essere almeno un vertice isolato. Un grafico con un vertice isolato ha un massimo di bordi C (n-1,2).

quindi ogni grafico collegato dovrebbe avere più di C (n-1,2) bordi.