Che cos'è un super universo?

Sto leggendo questo famoso documento sugli universi nella teoria dei tipi . All'inizio mi aspettavo qualcosa di simile ad SetωAgda, ma si scopre che è anche qualcosa di più generale. Sembra generalizzare la costruzione dell'universo da un semplice tipo induttivo-ricorsivo a un legante (simile a e ). La domanda principale che voglio porre è: qual è l'intenzione alla base?$\Pi$$\Sigma$

Ecco alcuni codici Idris che definiscono i comuni universi in stile Tarski:

mutual

  public export data U : (level : Nat) -> Type where
    GroundU : Ground -> U level
    BinderU : Binder -> (a : U level) -> (b : (x : T {level} a) -> U level) -> U level
    UnivU   : U (S level)
    LiftU   : U level -> U (S level)

  public export T : {level : Nat} -> (code : U level) -> Type

Sto cercando di generalizzare in qualcosa del genere

mutual

  public export data U : (a : Type) -> (b : (x : a) -> Type) -> Type where
    GroundU : Ground -> U a ???
    ...

Cosa dovrebbe ???essere? L'autore dell'articolo ha appena detto che gli universi dovrebbero essere chiusi sotto formatori fissi.

modifica: penso ???sia semplicemente b...

Un'intenzione dietro avere un operatore universo e un super-universo chiuso sotto di esso, è di fornire una versione teorica del tipo di grandi assiomi cardinali noti dalla teoria degli insiemi. Un cardinale inaccessibile è come un universo di tipo teorico. Il prossimo interessante tipo di cardinale è un cardinale Mahlo . Parlando in modo intuitivo, un cardinale Mahlo è uno che ha "un sacco" di cardinali inaccessibili al di sotto di esso. Cosa sarebbe in termini di teoria dei tipi? Dovrebbe essere una specie di universo con molti e molti universi. Questo è ciò che Palmgren sta affrontando quando considera i super-universi.$U$

C'è anche un lato più pratico nell'avere molti universi. È utile avere tipi induttivi-ricorsivi nella teoria dei tipi, per tutti i tipi di scopi. Ma ci permettono di definire nuovi universi, quindi la domanda è: quanti ? Per avere un'idea di ciò che Palmgren sta facendo, invece di sparare subito per il super-universo, prova la seguente sequenza di costruzioni ad Agda (usando l'induzione-ricorsione):

1. Definire un universo , contenente (un codice di) N e chiuso sotto Π e Σ . Questo tipo di universo corrisponde a un cardinale inaccessibile .$U_0$$\mathbb{N}$$\Pi$$\Sigma$

2. Definire un operatore che accetta qualsiasi tipo A e definisce un universo che contiene (un codice di) A ed è chiuso sotto Π e Σ . Questo tipo di operatore universo è simile all'assioma degli universi di Grothendieck . Quanti universi possiamo ottenere applicando ripetutamente U , a partire da N ?$U$$A$$A$$\Pi$$\Sigma$$U$$\mathbb{N}$

3. Per ottenere ancora più universi, postuliamo un super-universo che contiene molti universi, come segue:$V$

   • contiene N ed è chiuso sotto Π e$V$$\mathbb{N}$$\Pi$$\Sigma$
   • Dato (codice di) un tipo e una famiglia B : A → V , esiste un universo U , che è un elemento di V , contiene tutti i tipi della famiglia B ed è chiuso sotto Π e Σ .$A : V$$B : A \to V$$U$$V$$B$$\Pi$$\Sigma$

   Quanti universi contiene ? Nota che possiamo ottenere una famiglia B : N → V tale che B ( n ) è l' n -esimo universo, e quindi V deve contenere un universo U ω che contenga tutti questi. E questo è solo l'inizio!$V$$B : \mathbb{N} \to V$$B(n)$$n$$V$$U_\omega$